Question

【題目】如圖，在區(qū)域I（0≤x≤d）和區(qū)域II（d≤x≤2d）內(nèi)分別存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面．一質(zhì)量為m、帶電荷量q（q＞0）的粒子a于某時(shí)刻從y軸上的P點(diǎn)射入?yún)^(qū)域I，其速度方向沿x軸正向．已知a在離開(kāi)區(qū)域I時(shí)，速度方向與x軸正方向的夾角為30°；因此，另一質(zhì)量和電荷量均與a相同的粒子b也從p點(diǎn)沿x軸正向射入?yún)^(qū)域I，其速度大小是a的1/3．不計(jì)重力和兩粒子之間的相互作用力．求

（1）粒子a射入?yún)^(qū)域I時(shí)速度的大��；

（2）當(dāng)a離開(kāi)區(qū)域II時(shí)，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差．

Answer 1

【答案】

【解析】

(1)設(shè)粒子a在Ⅰ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為C(在y軸上)，半徑為Ra1，粒子速率為va，運(yùn)動(dòng)軌跡與兩磁場(chǎng)區(qū)域邊界的交點(diǎn)為P′，如圖所示．由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

qvaB＝m①

由幾何關(guān)系得

∠PCP′＝θ②

Ra1＝③

式中，θ＝30°.

由①②③式得

va＝④

(2)設(shè)粒子a在Ⅱ內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為Oa，半徑為Ra2，射出點(diǎn)為Pa(圖中未畫(huà)出軌跡)，∠P′OaPa＝θ′＝2θ.由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

qva(2B)＝m⑤

由①⑤式得

Ra2＝⑥

C、P′和Oa三點(diǎn)共線，且由⑥式知Oa點(diǎn)必位于x＝d的平面上，由對(duì)稱性知，Pa點(diǎn)與P′點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，即yPa＝Ra1cosθ＋h⑦

式中，h是C點(diǎn)的y坐標(biāo)．

設(shè)b在Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為Rb1，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

qB＝2⑧

設(shè)a到達(dá)Pa點(diǎn)時(shí)，b位于Pb點(diǎn)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為α.如果b沒(méi)有飛出Ⅰ，則

＝⑨

＝⑩

式中，t是a在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，而

Ta2＝

Tb1＝

由⑤⑧⑨⑩式得α＝30°

由①③⑧式可見(jiàn)，b沒(méi)有飛出Ⅰ.Pb點(diǎn)的y坐標(biāo)為

yPb＝Rb1cosα＋Ra1－Rb1＋h

由①③⑦⑧式及題給條件得，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差為yPa－yPb＝(－2)d