Question

如圖所示，aa′、bb′、cc′、dd′為四條平行金屬軌道，都處在水平面內．a(chǎn)a′、dd′間距2L，bb′、cc′間距L．磁感應強度B的有界勻強磁場垂直于紙面向里，邊界與軌道垂直．a(chǎn)b、cd兩段軌道在磁場區(qū)域正中間，到磁場左右邊界距離均為s．軌道電阻不計且光滑，在a′d′之間接一阻值R的定值電阻．現(xiàn)用水平向右的力拉著質量為m、長為2L的規(guī)則均勻金屬桿從磁場左側某處由靜止開始向右運動，金屬桿的電阻與其長度成正比，金屬桿與軌道接觸良好，運動過程中不轉動，忽略與ab、cd重合的短暫時間內速度的變化．
（1）證明：若拉力為恒力，無論金屬桿的內阻r為多少，都不能使金屬桿保持勻速通過整個磁場．
（2）若金屬桿內阻r=2R，保持拉力為F不變，使金屬桿進入磁場后立刻作勻速直線運動．當金屬桿到達磁場右邊界時，速度大小為v．試求此次通過磁場過程中，整個回路放出的總熱量．
（3）若金屬桿內阻r=2R，通過改變拉力的大小，使金屬桿從磁場左側某處從靜止開始出發(fā)，保持勻加速運動到達磁場右邊界．已知金屬桿即將到達ab、cd位置時拉力的大小F₁，已在圖中標出．試定性畫出拉力大小隨時間的變化關系圖．（不需要標關鍵點的具體坐標，但圖象應體現(xiàn)各段過程的差異．）

Answer 1

分析：（1）由于導軌的寬度發(fā)生變化，因此導體棒所受安培力將發(fā)生變化，故F不可能為恒力，若為恒力，導軌不可能勻速運動．
（2）導體棒勻速運動，根據(jù)安培力等于力F求出導體棒進入磁場時的初速度，然后根據(jù)功能關系即可求出整個過程中回路產(chǎn)生的熱量．
（3）正確受力分析，根據(jù)牛頓第二定律寫出F的表達式，即可正確畫出F-t圖象．

解答：解：（1）當金屬桿在ab、cd左側時，安培力：FA1=

B2(2L)2v

R+r

當金屬桿在ab、cd右側時，安培力：FA2=

B2L2v

R+ r 2

若拉力為恒力且始終勻速經(jīng)過，則有F_A1=F_A2
得r=-3R，無解．
（或  得到F_A1≠F_A2，則拉力不可能為恒力）
故若拉力為恒力，無論金屬桿的內阻r為多少，都不能使金屬桿保持勻速通過整個磁場．
（2）當金屬桿在ab、cd左側勻速運動時，F=FA=

B2(2L)2v

R+2R

=

4B2L2v1

3R

解得：v1=

3FR

4B2L2

對金屬桿通過磁場的過程列動能定理式有：
F?2S-Q=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 1

解得：Q=2FS-

1

2

mv2+

9mF2R2

32B4L4

．
故整個回路放出的總熱量為：Q=2FS-

1

2

mv2+

9mF2R2

32B4L4

．
（3）在磁場外拉力恒定，保持勻加速：
在ab、cd左側時，滿足：F-F_A=ma，故有：F=ma+

4B2L2a

3R

t
在ab、cd右側時，滿足F-F_A=ma，故有：F=ma+

B2L2a

2R

t
比較兩個表達式可知，進入ab、cd右側后，直線斜率將減小
又因為在ab、cd左側運動時間大于在ab、cd右側運動時間，所以出磁場瞬間F₂肯定比F₁�。�
故拉力大小隨時間的變化關系圖如下圖所示：

點評：本題的難點在于正確分析安培力的變化，根據(jù)運動狀態(tài)列出方程，同時注意克服安培力所做功等于整個回路中產(chǎn)生的熱量．