Question

（2009?上海模擬）如圖所示，一輕繩繞過無摩擦的兩個(gè)輕質(zhì)小定滑輪O₁、O₂和質(zhì)量m_B=m的小球連接，另一端與套在光滑直桿上質(zhì)量m_A=m的小物塊連接，已知直桿兩端固定，與兩定滑輪在同一豎直平面內(nèi)，與水平面的夾角θ=60°，直桿上C點(diǎn)與兩定滑輪均在同一高度，C點(diǎn)到定滑輪O₁的距離為L(zhǎng)，重力加速度為g，設(shè)直桿足夠長(zhǎng)，小球運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)與其他物體相碰．現(xiàn)將小物塊從C點(diǎn)由靜止釋放，試求：
（1）小球下降到最低點(diǎn)時(shí)，小物塊的機(jī)械能（取C點(diǎn)所在的水平面為參考平面）；
（2）小物塊能下滑的最大距離；
（3）小物塊在下滑距離為L(zhǎng)時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析：（1）小物塊的機(jī)械能等于重力勢(shì)能和動(dòng)能的總和，求出小球在最低點(diǎn)時(shí)，小物塊的動(dòng)能和重力勢(shì)能，從而求出小物塊的機(jī)械能．
（2）在運(yùn)動(dòng)的過程中，對(duì)A、B兩物體組成的系統(tǒng)，只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)小物塊下滑到最大距離時(shí)，速度為零，根據(jù)A物體的機(jī)械能的減小量等于B物體機(jī)械能的增加量，求出下滑的最大距離．
（3）將小物塊A的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，沿繩子方向的分速度等于B物體的速度，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律求出物塊下滑距離為L(zhǎng)時(shí)的速度大�。�

解答：解：（1）設(shè)小球B的初始位置到O₂的距離為h．小球B下降到最低點(diǎn)時(shí)，小物塊A的機(jī)械能為E₁．小物塊A下滑過程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：0-mgh=E₁-mg[h+（L-Lsinθ）]
解得：E1=mg(L-Lsinθ)=mgL(1--

3

2

)．
（2）設(shè)小物塊能下滑的最大距離為s_m，由機(jī)械能守恒定律有m_Ags_msinθ=m_Bgh_B增
而hB增=

(sm-Lcosθ)2+(Lsinθ)2

-L
代入解得  sm=4(1+

3

)L
故小物塊能下滑的最大距離sm=4(1+

3

)L．
（3）設(shè)小物塊下滑距離為L(zhǎng)時(shí)的速度大小為v，此時(shí)小球的速度大小為v_B，則v_B=vcosθ
mAgLsinθ=

1

2

mB

v

2 B

+

1

2

mAv2
解得v=

20 3 gL

5

故小物塊在下滑距離為L(zhǎng)時(shí)的速度大小v=

20 3 gL

5

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道A、B組成的系統(tǒng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒．對(duì)于單個(gè)物體，有拉力做功，機(jī)械能不守恒，以及知道A、B兩物體的速度存在一定的關(guān)系．