Question

【題目】近代的材料生長和微加工技術(shù)，可制造出一種使電子的運(yùn)動(dòng)限制在半導(dǎo)體的一個(gè)平面內(nèi)(二維)的微結(jié)構(gòu)器件，且可做到電子在器件中像子彈一樣飛行，不受雜質(zhì)原子射散的影響．這種特點(diǎn)可望有新的應(yīng)用價(jià)值．圖甲所示為四端十字形，二維電子氣半導(dǎo)體，當(dāng)電流從1端進(jìn)入時(shí)，通過控制磁場的作用，可使電流從2、3或4端流出．對下面模擬結(jié)構(gòu)的研究，有助于理解電流在上述四端十字形導(dǎo)體中的流動(dòng)．在圖乙中，a、b、c、d為四根半徑都為R的圓柱體的橫截面，彼此靠得很近，形成四個(gè)寬度極窄的狹縫1、2、3、4，在這些狹縫和四個(gè)圓柱所包圍的空間(設(shè)為真空)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，由靜止經(jīng)電場加速后，在紙面內(nèi)以速度v0沿與a、b都相切的方向由縫1射入磁場內(nèi)，與其中一個(gè)圓柱表面發(fā)生一次彈性碰撞(碰撞無機(jī)械能損失)，從縫2處且沿與b、c都相切的方向射出，碰撞時(shí)間極短，且碰撞不改變粒子的電荷量，也不受摩擦力作用，重力忽略不計(jì)．加速電場兩板間距為d，兩極板厚度不計(jì)且其右極板與圓柱a、b同時(shí)相切．

(1)求加速電場電壓U.

(2)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B.

(3)求從由靜止加速到從縫2射出所用的時(shí)間t.

Answer 1

【答案】(1) (2)

(3)t＝＋

【解析】(1)粒子由靜止在電場中加速qU＝mv①

解得U＝②

(2)在圖中紙面內(nèi)取Oxy坐標(biāo)(如圖)，原點(diǎn)在狹縫1處，x軸過縫1和縫3.粒子從縫1進(jìn)入磁場，在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道在原點(diǎn)與x軸相切，故其圓心必在y軸上．若以r表示此圓的半徑，則圓方程為

x2＋(r－y)2＝r2③

根據(jù)題的要求和對稱性可知，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)與d的柱面相碰于縫3、4間的圓弧中點(diǎn)處，碰撞處的坐標(biāo)為x＝2R－Rsin45°④

y＝R－Rcos45°⑤

由③④⑤式，得r＝3R⑥

由洛倫茲力和牛頓定律，有qv0B＝m⑦

由⑥⑦式，得B＝⑧

(3)在電場中加速用時(shí)t1＝⑨

在磁場中轉(zhuǎn)過兩段圓弧，設(shè)每段圓弧對應(yīng)圓心角為θ有

sinθ＝⑩

且磁場中用時(shí)t2＝

t3＝

總共用時(shí)t＝t1＋t2＋t3

由④⑨⑩式得t＝＋