Question

如圖所示，間距為L=1m的兩平行金屬導軌與水平面成θ=37°角的固定放置，虛線M N上方存在垂直軌道平面向下的勻強磁場，M N下方存在平行軌道平面向下的勻強磁場，兩磁場的磁感應強度均為1T，M N上下兩部分軌道均足夠長，其電阻均不計．光滑金屬棒ab的質量為m=1Kg，電阻r=1Ω；金屬棒cd質量為m=1Kg，電阻r=2Ω，它與軌道間的摩擦因數(shù)μ=0.6．現(xiàn)由靜止釋放cd棒，同時對ab棒施加一平行導軌向上的外力F，使ab棒沿軌道向上做初速度為零，加速度a=3m/s²的勻加速直線運動，兩棒運動過程中始終與軌道垂直且與軌道接觸良好．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²）
（1）寫出所加外力F與時間t的關系式
（2）求cd棒達到最大速度所用時間t₀
（3）若從釋放cd到cd達到最大速度時外力F所做的功為WF=62J，求此過程中回路中所產生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：（1）ab棒沿軌道向上做初速度為零的勻加速直線運動，由v=at、E=BLv、I=

E

R+r

、F_安=BIL推導出安培力與時間的關系式，對ab棒，即可由牛頓第二定律得到外力F與時間t的關系式
；
（2）cd棒向下先加速度減小的加速運動，后做勻速運動，此時速度達到最大，根據(jù)平衡條件求解時間t₀；
（3）由運動學公式求出cd棒達到最大速度時通過的位移和所用時間，再由動能定理求解ab棒克服安培力做功，即等于此過程中回路中所產生的焦耳熱Q．

解答：解：（1）設經過時間t后ab棒的速度為v，則v=at①
此時回路中的感應電動勢為 E=BLv，②
感應電流為 I=

E

R+r

  ③
設安培力大小為F_安，則F_安=BIL，④
對ab棒，由牛頓第二定律得：F-mgsinθ-F_安=ma  ⑤
聯(lián)立以上幾式得，F(xiàn)=（t+9）N  ⑥
設cd棒達到最大速度時所用時間為t0，此時ab棒的速度為v0，安培力大小為F_安′，則由①～④得
   F_安′=

B2L2at0

R+r

  ⑦
對cd棒，由平衡條件得  mgsinθ=μ（mgcosθ+F_安′）  ⑧
由⑦⑧得，t₀=2s
（2）設當cd棒達到最大速度時，ab棒沿導軌向上運動的距離為x，由運動學公式得
   x=

1

2

a

t

2 0

  ⑩
   v₀=at₀      （11）
對ab棒，由動能定理得
   W_F-mgxsinθ-W_安=

1

2

m

v

2 0

  （12）
則得克服安培力做的功為 W_安=Q  （13）
由⑨～（13）解得，Q=8J
答：
（1）所加外力F與時間t的關系式是F=（t+9）N．
（2）cd棒達到最大速度所用時間t₀是2s．
（3）若從釋放cd到cd達到最大速度時外力F所做的功為WF=62J，此過程中回路中所產生的焦耳熱Q是8J．

點評：本題中電磁感應與力學知識的綜合，安培力是橋梁，推導法拉第電磁感應定律、歐姆定律推導安培力表達式是關鍵．