Question

【題目】如圖所示，半徑為R的玻璃球冠的折射率為，其底面鍍銀，底面的半徑為；在過球心O且垂直于底面的平面內，有一與底面垂直的光線射到玻璃球冠上的M點，該光線的延長線恰好過底面邊緣上的A點。已知光在真空中的傳播速度為c，不考慮折射時的反射光。求：

①該光線由M點射入玻璃球冠經一次反射后從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角；

②光在玻璃球冠中的傳播時間。

Answer 1

【答案】①150°；②

【解析】

①設球半徑為R，球冠底面中心為O′，連接OO′，則OO′⊥AB。令∠OAO′＝α，有

即

α＝30°

由題意

MA⊥AB

所以

∠OAM＝60°

設圖中N點為光線在球冠內底面上的反射點，所考慮的光線的光路圖如圖所示

設光線在M點的入射角為i、折射角為r，在N點的入射角為i′，反射角為i″，玻璃折射率為n。由于OAM為等邊三角形，有

i＝60°

由折射定律有

sini＝nsinr

代入題給條件

得

作底面在N點的法線NE，由于NE∥AM，有

i′＝30°

根據反射定律，有

i″＝30°

連接ON，由幾何關系知

MAN≌MON

故有

∠MNO＝60°

解得

∠ENO＝30°

于是∠ENO為反射角，ON為反射光線。這一反射光線經球面再次折射后不改變方向。所以，經一次反射后射出玻璃球冠的光線相對于入射光線的偏角β為

β＝180°－∠ENO＝150°

②光線在玻璃球冠中的傳播速度為

光線在玻璃球冠中的傳播時間為

代入數據解得