Question

（2013?河南模擬）如圖所示，在x≥O的區(qū)域內(nèi)存在與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng) 強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面朝里．假設(shè)一系列質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子初速度為零，經(jīng)過加速電場加速后從O點(diǎn)沿Ox軸正方向進(jìn)人勻強(qiáng)磁場區(qū)域．有一塊厚度不計(jì)、高度為d的金屬板豎直放置在磁場中，截面如圖，M、N分別為金屬板截面的上、下端點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（d，2d），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（d，d）．不計(jì)正離子的重力．
（1）加速電場的電壓在什么范圍內(nèi)，進(jìn)入磁場的離子才能全部打在金屬板上？
（2）求打在金屬板上的離子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間與最長時(shí)間的比值？（sin37°=0.6cos37°=0.8）

Answer 1

分析：求出恰好打到N點(diǎn)時(shí)的半徑，在求出恰好打到M點(diǎn)的半徑，中間的數(shù)據(jù)就是所求的電壓范圍；分別求出打到M點(diǎn)時(shí)的最長時(shí)間和打到N點(diǎn)時(shí)的最短時(shí)間，然后求比值即可．

解答：解：（1）設(shè)加速電壓為U，正離子初速度為零，經(jīng)過加速電場加速，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qU=

1

2

mv2
正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力：
qvB=

mv2

R

R=

2mqU

qB

當(dāng)加速電壓較小時(shí)，離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑較小，當(dāng)離子恰好打到金屬板下端點(diǎn)N點(diǎn)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小為R_min，如圖1
根據(jù)幾何知識(shí)可以判斷R_min=d
故：U_min=

qB2d2

2m

當(dāng)加速電壓較大時(shí)，離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑較大，當(dāng)離子恰好打到金屬板上端點(diǎn)M點(diǎn)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大為Rmax，如圖2
根據(jù)幾何知識(shí)判斷：R_max²=d²+（2d-R_min）²
解得R_max=

5

4

d
所以U_max=

25qB2d2

32m

所以離子能全部打在金屬板上，加速電壓的取值范圍為：

qB2d2

2m

≤U≤

25qB2d2

32m

（2）設(shè)離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
T=

2πR

v

  ①
又qvB=

mv2

R

 ②
聯(lián)立①②解得T=

2πm

qB

離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與加速電壓無關(guān)．
離子在圖1中所示的軌跡中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為
t_min=

1

4

T
離子在圖2所示的軌跡中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長為：
t_max=

90°+θ

360°

根據(jù)幾何知識(shí)：cosθ=

d

rmax

=

4

5

則：θ=37°
所以

tmin

tmax

=

90

127

答：（1）加速電場的電壓在為：

qB2d2

2m

≤U≤

25qB2d2

32m

范圍內(nèi)，進(jìn)入磁場的離 子才能全部打在金屬板上，
（2）打在金屬板上的離子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間與最長時(shí)間的比值為

90

127

．

點(diǎn)評：此題考查離子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)情況，屬于高考常見題目，要加強(qiáng)聯(lián)系，難度適中．