Question

光滑水平面上，一個(gè)長(zhǎng)木板與半徑R未知的半圓組成如圖所示的裝置，裝置質(zhì)量M=5kg．在裝置的右端放一質(zhì)量為m=1kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），小滑塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，裝置與小滑塊一起以v₀=10m/s的速度向左運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)給裝置加一個(gè)F=55N向右的水平推力，小滑塊與木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，當(dāng)小滑塊滑至長(zhǎng)木板左端A時(shí)，裝置速度恰好減速為0，此對(duì)撤去外力F并將裝置鎖定．小滑塊繼續(xù)沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，且恰好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)B．滑塊脫離半圓形軌道后又落回長(zhǎng)木板．已知小滑塊在通過(guò)半圓形軌道時(shí)克服摩擦力做功W_f=2.5J．g取10m/s²．求：

（1）裝置運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移；
（2）長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度l；
（3）小滑塊最后落回長(zhǎng)木板上的落點(diǎn)離A的距離．

Answer 1

分析：（1）裝置水平方向受向左額滑動(dòng)摩擦力和向右的推力，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；
（2）先對(duì)m受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解位移；最后得到相對(duì)位移；
（3）先對(duì)A到B過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式，再對(duì)B點(diǎn)運(yùn)用重力提供向心力列式，最后聯(lián)立方程組求解初速度和半徑；此后平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)分位移公式列式求解．

解答：解：（1）裝置水平方向受向左額滑動(dòng)摩擦力和向右的推力，根據(jù)牛頓第二定律，有：F-μmg=Ma₁
解得a₁=10 m/s²
設(shè)裝置運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，由 v₀-a₁t₁=0
解得t₁=1s
裝置向左運(yùn)動(dòng)的距離x1=

1

2

a1

t

2 1

=5m
（2）對(duì)m受力分析，水平方向受向右的滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律，有：μmg=ma₂
解得a₂=5m/s²
設(shè)滑塊到A點(diǎn)的速度為v₁，則v₁=v₀-a₂t₁
解得v₁=5m/s
小滑塊向左運(yùn)動(dòng)距離x2=v0t1-

1

2

a2

t

2 1

=7.5m
則木板長(zhǎng)為l=x₂-x₁=2.5m
（3）設(shè)滑塊再B點(diǎn)速度為vv₂，從A到B過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有-mg×2R-Wf=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

在B點(diǎn)：mg=m

v 2 2

R

聯(lián)立解得
R=0.4m，v₂=2m/s；
此后平拋運(yùn)動(dòng)，有2R=

1

2

g

t

2 2

落點(diǎn)離A點(diǎn)距離：x₂=v₂t₂
解得：x=0.8m
答：（1）裝置運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移為5米；
（2）長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度l為2.5米；
（3）小滑塊最后落回長(zhǎng)木板上的落點(diǎn)離A的距離為0.8米．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確兩個(gè)物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解位移，最后結(jié)合動(dòng)能定理和平拋運(yùn)動(dòng)分位移公式列式求解．