Question

如圖甲所示，兩平行金屬板的板長l=0.20 m，板間距d=6.0×10^-2 m，在金屬板右側(cè)有一范圍足夠大的方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，其邊界為MN，與金屬板垂直。金屬板的下極板接地，上極板的電壓u隨時間變化的圖線如圖乙所示，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0×10^-2 T。現(xiàn)有帶正電的粒子以v₀=5.0×10⁵ m/s的速度沿兩板間的中線OO'連續(xù)進(jìn)入電場，經(jīng)電場后射入磁場。已知帶電粒子的比荷，粒子的重力忽略不計，假設(shè)在粒子通過電場區(qū)域的極短時間內(nèi)極板間的電壓可以看作不變，不計粒子間的作用(計算中取tan15°=4/15)。
(1)求t=0時刻進(jìn)入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場和射出磁場時兩點間的距離；
(2)求t=0.30 s時刻進(jìn)入的粒子，在磁場中運動的時間；
(3)試證明：在以上裝置不變時，以v₀射入電場比荷相同的帶電粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場和射出磁場時兩點間的距離都相等。

Answer 1

解：(1)t=0時，μ=0，帶電粒子在極板間不偏轉(zhuǎn)，水平射入磁場


s=2r=1.0m
(2)帶電粒子在勻強(qiáng)電場中水平方向的速度v₀=5.0×10⁵ m/s
豎直方向的速度為
所以進(jìn)入磁場時速度與初速度方向的夾角為α


解得α=15°
由幾何關(guān)系可知，帶電粒子在磁場中運動的圓弧所對的圓心角為φ，即為150°，設(shè)帶電粒子在磁場中運動的時間為t，所以
(3)證明：設(shè)帶電粒子射入磁場時的速度為v，帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑為r

進(jìn)入磁場時帶電粒子速度的方向與初速度的方向的夾角為α

由幾何關(guān)系可知，帶電粒子在磁場中運動的圓弧所對的圓心角為φ=π-2α，帶電粒子在磁場中的圓滑所對的弦長為s，s=2rcosφ

從上式可知，弦長s取決于磁感應(yīng)強(qiáng)度、粒子的比荷及初速度，而與電場無關(guān)