Question

如圖所示，用特定材料制作的細鋼軌豎直放置，半圓形軌道光滑，半徑分別為R，2R，3R和4R，R=0.5m，水平部分長度L=2m，軌道最低點離水平地面高h=1m．中心有孔的鋼球（孔徑略大于細鋼軌道直徑），套在鋼軌端點P處，質量為m=0.5kg，與鋼軌水平部分的動摩擦因數(shù)為μ=0.4．給鋼球一初速度v₀=13m/s．取g=10m/s²．求：
（1）鋼球運動至第一個半圓形軌道最低點A時對軌道的壓力．
（2）鋼球落地點到拋出點的水平距離．

Answer 1

分析：（1）球從P運動到A點過程中，重力做功mg?2R，摩擦力做功為-μmgL，根據(jù)動能定理求出鋼球運動至第一個半圓形軌道最低點A時的速度，根據(jù)牛頓運動定律求解對軌道的壓力．
（2）對全程運用動能定理求出鋼球到達B的速度．鋼球從B點軌道后做平拋運動，下落的高度為h+8R，由平拋運動的規(guī)律可求出鋼球落地點到拋出點的水平距離．

解答：解：（1）球從P運動到A點過程由動能定理得  
  mg?2R-μmg?L=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

由牛頓第二定律  FN-mg=m

v 2 1

R

由牛頓第三定律  F_N=-F'_N
解得F'_N=-178N對軌道壓力為178N，方向豎直向下．
（2）設球到達軌道末端點速度為v₂，對全程由動能定理得
   -μmg?5L-4mgR=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

解得v₂=7m/s
鋼球從B點軌道后做平拋運動，則有
 豎直方向：h+8R=

1

2

gt2
 水平方向：x=v₂t
解得x=7m
答：
（1）鋼球運動至第一個半圓形軌道最低點A時對軌道的壓力為178N，方向豎直向下．
（2）鋼球落地點到拋出點的水平距離是7m．

點評：本題是動能定理與牛頓運動定律、平拋運動等知識的綜合，速度是它們聯(lián)系的紐帶．已知空間的量，比如高度、距離等，優(yōu)先考慮動能定理求速度．