Question

（2009?南匯區(qū)二模）重力勢(shì)能E_P=mgh實(shí)際上是萬(wàn)有引力勢(shì)能在地面附近的近似表達(dá)式，其更精確的表達(dá)式應(yīng)為EP=-G 

Mm

r

．式中的G為萬(wàn)有引力恒量，M為地球質(zhì)量，m為物體的質(zhì)量，r為物體到地心的距離，并以無(wú)限遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為零勢(shì)能．一顆質(zhì)量為m的地球衛(wèi)星，在離地高度為H處環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球質(zhì)量未知．
試求：
（1）衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度；
（2）衛(wèi)星的引力勢(shì)能；
（3）衛(wèi)星的機(jī)械能；
（4）若要使衛(wèi)星能飛離地球（飛到引力勢(shì)能為零的地方），則衛(wèi)星至少要具有多大的初速度從地面發(fā)射？

Answer 1

分析：（1）衛(wèi)星在離地高度為H處環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式，根據(jù)根據(jù)在地面附近物體受到地球的萬(wàn)有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式，兩等式結(jié)合求解．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力勢(shì)能的表達(dá)式求解．
（3）衛(wèi)星的機(jī)械能應(yīng)該是動(dòng)能和勢(shì)能之和．
（4）根據(jù)能量守恒，要使衛(wèi)星能飛離地球，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為引力勢(shì)能進(jìn)行求解．

解答：解：（1）衛(wèi)星在離地高度為H處環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式：

GMm

(R+H)2

=

mv2

R+H

…①
根據(jù)根據(jù)在地面附近物體受到地球的萬(wàn)有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式：

GMm

R2

=mg…②
由①②得：v=R

g R+H

（2）萬(wàn)有引力勢(shì)能的表達(dá)式：EP=-G 

Mm

r

…③
由②③得：衛(wèi)星的引力勢(shì)能：EP=- 

mgR2

R+H

（3）衛(wèi)星的機(jī)械能應(yīng)該是動(dòng)能和勢(shì)能之和．
所以E=E_k+E_p=-

mgR2

2(R+H)

（4）根據(jù)能量守恒，要使衛(wèi)星能飛離地球，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為引力勢(shì)能，衛(wèi)星在地面的引力勢(shì)能是-G 

Mm

R

，要飛到引力勢(shì)能為零的地方，所以有：

1

2

m

v

2 0

-G 

Mm

R

=0
得：v₀=

2gR

答：（1）衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度是R

g R+H

；
（2）衛(wèi)星的引力勢(shì)能是- 

mgR2

R+H

；
（3）衛(wèi)星的機(jī)械能是-

mgR2

2(R+H)

；
（4）若要使衛(wèi)星能飛離地球（飛到引力勢(shì)能為零的地方），則衛(wèi)星至少要具有的初速度是

2gR

．

點(diǎn)評(píng)：向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．
運(yùn)用黃金代換式GM=gR²求出問(wèn)題是考試中常見(jiàn)的方法．
本題考查了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，要能根據(jù)求解的問(wèn)題選擇恰當(dāng)?shù)奈锢硪?guī)律求解．