Question

（2008?黃岡一模）2007年10月24日18時(shí)05分，我國(guó)成功發(fā)射了“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星．某同學(xué)查閱了一些與地球、月球由關(guān)的數(shù)據(jù)資料并設(shè)計(jì)了一下兩個(gè)問題，請(qǐng)你解答：
（1）已知地球半徑R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)可以近似看做時(shí)勻速圓周運(yùn)動(dòng)．試求月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r．
（2）假設(shè)某宇航員乘登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高出以水平速度v₀拋出一個(gè)小球，小球落回月球表面處到拋出點(diǎn)的水平距離為s．已知月球半徑為R_月，萬(wàn)有引力常量G．試求月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析：（1）月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由萬(wàn)有引力公式和牛頓第二定律，列式求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）小球在月球表面做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出月球上的重力加速度，代入萬(wàn)有引力公式可以求出月球的質(zhì)量．

解答：解：（1）月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，有G

Mm

r2

=mr

4π2

T2

對(duì)地球表面上質(zhì)量為m'的物體，有G

Mm′

R2

=m′g
聯(lián)立解得r= 3

R2T2g 4π2

．
（2）設(shè)月球表面重力加速度為g_月，小球做平拋運(yùn)動(dòng)．飛行時(shí)間為t，則h=

1

2

g月t2，s=v0t
解得g月=

2h v 2 0

s2

對(duì)月球表面上質(zhì)量為m的物體，有G

M月m

R 2 月

=mg月
故：M月=

R 2 月 g月

G

=

2h R 2 月 v 2 0

Gs2

答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

3	R2T2g 4π2

；
（2）月球的質(zhì)量為

2h R 2 月 v 2 0

Gs2

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，由向心力公式和萬(wàn)有引力公式列式求解．