Question

（2010?杭州二模）坐標原點O處有一點狀的放射源，它向xoy平面內的x軸上方各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度大小都是v₀，在0＜y＜d的區(qū)域內分布有指向y軸正方向的勻強電場，場強大小為E=

3m v 2 0

2qd

，其中q與m分別為α粒子的電量和質量；在d＜y＜2d的區(qū)域內分布有垂直于xoy平面的勻強磁場．ab為一塊很大的平面感光板，放置于y=2d處，如圖所示．觀察發(fā)現此時恰無粒子打到ab板上．（不考慮a粒子的重力）
（1）求α粒子剛進人磁場時的動能；
（2）求磁感應強度B的大小；
（3）將ab板平移到什么位置時所有粒子均能打到板上？并求出此時ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出α粒子剛進人磁場時的動能．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進入磁場偏轉的角度最大，若該粒子進入磁場不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據帶電粒子在電場中類平拋運動，求出進入磁場中的偏轉角度，結合幾何關系得出軌道半徑，從而得出磁感應強度的大�。�
（3）沿x軸負方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑大小得出磁場的寬度，從而確定出ab板移動的位置，根據幾何關系求出ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長度．

解答：解：（1）根據動能定理：Eqd=

1

2

m

v

2 t

-

1

2

m

v

2 0

可得
末動能

1

2

m

v

2 t

=Eqd+

1

2

m

v

2 0

=2m

v

2 0

（2）根據上題結果可知v_t=2v₀，對于沿x軸正方向射出的粒子進入磁場時與x軸正方向夾角θ=

π

3

，其在電場中沿x方向的位移x1=v0t=v0

2d ( Eq m )

=

2 3

3

d，易知若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子軌跡必與ab板相切，可得其圓周運動的半徑r=

2

3

d
又根據洛倫茲力提供向心力Bqvt=

m v 2 t

r

可得B=

3mvt

2qd

=

3mv0

qd

（3）易知沿x軸負方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．由圖可知此時磁場寬度為原來的

1

3

，
即當ab板位于y=

4

3

d的位置時，恰好所有粒子均能打到板上；
ab板上被打中區(qū)域的長度L=2x1+r=

4 3

3

d+

2

3

d
答：（1）α粒子剛進人磁場時的動能為2mv02．
（2）磁感應強度B的大小為

3mv0

qd

．
（3）當ab板位于y=

4

3

d的位置時，恰好所有粒子均能打到板上，打中區(qū)域的長度為

4 3

3

d+

2

3

d．

點評：本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運動，關鍵確定粒子運動的臨界情況，通過幾何關系解決，對學生數學幾何能力要求較高．