Question

(16分)如圖所示，O、P、Q三點(diǎn)在同一水平直線上，OP＝L，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形PQMN區(qū)域內(nèi)(含邊界)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左側(cè)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從O點(diǎn)由靜止開始釋放，帶電粒子恰好從M點(diǎn)離開磁場(chǎng)，不計(jì)帶電粒子重力，求：

⑴磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
⑵粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間；
⑶若圖中電場(chǎng)方向改為豎直向下，場(chǎng)強(qiáng)大小未知，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，當(dāng)粒子從O點(diǎn)以水平速度v₀射入電場(chǎng)，從PN的中點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求帶電粒子的初速度v₀。

Answer 1

⑴B＝；⑵t＝；⑶v₀＝。

試題分析：⑴粒子在電場(chǎng)中受電場(chǎng)力qE，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的速度為v₁，進(jìn)入磁場(chǎng)后受洛倫茲力qvB作用，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理有：qEL＝－0      ①
由題意可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑恰好等于L，根據(jù)牛頓第二定律有：qv₁B＝     ②
由①②式聯(lián)立解得：B＝      ③
⑵設(shè)粒子在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：L＝      ④
根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)參量關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T＝     ⑤
根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂＝       ⑥
所以粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為：t＝t₁＋t₂     ⑦
由③④⑤⑥⑦式聯(lián)立解得：t＝
⑶根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如下圖所示，設(shè)此時(shí)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為v，與水平方向的夾角為θ，粒子此時(shí)在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，即在OP方向上勻速運(yùn)動(dòng)，有：v₀＝vcosθ    ⑧

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，速度v的反向延長(zhǎng)線交于OP的中點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系有：tanθ＝1        ⑨
粒子此時(shí)在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為：r＝       ⑩
根據(jù)牛頓第二定律有：4qvB＝      ?
由③⑧⑨⑩?式聯(lián)立解得：v₀＝