Question

（2008?宣武區(qū)一模）如圖所示，光滑的U型金屬導(dǎo)軌PQMN水平地固定在豎直向上的勻強(qiáng)磁場中．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌的寬度為L，其長度足夠長，QM之間接有一個(gè)阻值為R的電阻，其余部分電阻不計(jì)．一質(zhì)量為m，電阻也為R的金屬棒ab，恰能放在導(dǎo)軌之上并與導(dǎo)軌接觸良好．當(dāng)給棒施加一個(gè)水平向右的沖量，棒就沿軌道以初速度v₀開始向右滑行．求：
（1）開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，棒中的瞬間電流i和棒兩端的瞬間電壓u分別為多大？
（2）當(dāng)棒的速度由v₀減小到

1

10

v₀的過程中，棒中產(chǎn)生的焦耳熱Q是多少？棒向右滑行的位移x有多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢，與閉合電路歐姆定律，即可求解；
（2）根據(jù)能量守恒定律，可求整個(gè)電路的焦耳熱，再求出棒中電阻產(chǎn)生焦耳熱．通過取極短時(shí)間，運(yùn)用牛頓第二定律與閉合電路歐姆定律，結(jié)合極限思想，從而即可求解．

解答：解：（1）開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，棒中的感應(yīng)電動(dòng)勢：
e=Lv₀B
棒中的瞬時(shí)電流：i=

e

2R

=

BLv0

2R

棒兩端的瞬時(shí)電壓：u=

R

R+R

e=

1

2

Lv₀B
（2）由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律知，全電路在此過程中產(chǎn)生的焦耳熱：
Q_總=

1

2

mv₀²-

1

2

m（

1

10

v₀）²=

99

200

mv₀² 
∴棒中產(chǎn)生的焦耳熱為：Q=

1

2

Q_總=

99

400

mv₀² 
令：△t表示棒在減速滑行時(shí)某個(gè)無限短的時(shí)間間隔，則在這一瞬時(shí)，結(jié)合安培力
和瞬時(shí)加速度的極限思想，應(yīng)用牛二律有：
iLB=m

△v

△t

結(jié)合電磁感應(yīng)定律和瞬時(shí)速度的極限思想，應(yīng)用全電路歐姆定律有：
i?2R=LBv=LB

△x

△t

 
所以：mLB△v=LB?2R△x，即：△x∝△v
所以對于全過程，上述正比例關(guān)系仍成立
所以對于全過程（△v=

9

10

v₀），得：
△x=x=

9

10

Rm

L2B2

v0
答：（1）開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，棒中的瞬間電流i=

BLv0

2R

和棒兩端的瞬間電壓u=

1

2

Lv₀B；
（2）當(dāng)棒的速度由v₀減小到

1

10

v₀的過程中，棒中產(chǎn)生的焦耳熱Q=

99

400

mv₀²；棒向右滑行的位移x=

9

10

Rm

L2B2

v0．

點(diǎn)評：考查法拉第電磁感應(yīng)定律與閉合電路歐姆定律的應(yīng)用，掌握能量守恒定律，注意棒的焦耳與整個(gè)電路的焦耳熱的關(guān)系，同時(shí)突出極限思想．
當(dāng)然還可以借用下面的“微分”思路求解第二小問：令△t表示棒在減速滑行的某個(gè)無限短的時(shí)間間隔，則△t內(nèi)，
應(yīng)用動(dòng)量定理有：iLB△t=m△v 
應(yīng)用全電路歐姆定律有：i=BLv?2R
又因?yàn)椋簐△t=△x
所以：

B2L2

2R

△x=m△v
即：△x∝△v
所以 對于全過程，上述正比例關(guān)系仍成立
所以 對于全過程（△v=

9

10

v₀），得：
△x=x=

9

10

Rm

L2B2

v0