【題目】如圖所示為某種彈射裝置的示意圖,該裝置由三部分組成,傳送帶左邊是足夠長的光滑水平面,一輕質彈簧左端固定,右端連接著質量M=6.0kg的物塊A。裝置的中間是水平傳送帶,它與左右兩邊的臺面等高,并能平滑對接。傳送帶的皮帶輪逆時針勻速轉動,使傳送帶上表面以u=2.0m/s勻速運動。傳送帶的右邊是一半徑R=1.25m位于豎直平面內(nèi)的光滑1/4圓弧軌道。質量m=2.0kg的物塊B1/4圓弧的最高處由靜止釋放。已知物塊B與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ=0.1傳送帶兩軸之間的距離l=4.5m。設物塊A、B之間發(fā)生的是正對彈性碰撞,第一次碰撞前,物塊A靜止。取g=10m/s2。求:

1)物塊B滑到1/4圓弧的最低點C時對軌道的壓力;

2)物塊B與物塊A第一次碰撞后彈簧的最大彈性勢能;

3)如果物塊A、B每次碰撞后,物塊A再回到平衡位置時彈簧都會被立即鎖定,而當它們再次碰撞前鎖定被解除,求物塊B經(jīng)第一次與物塊A碰撞后在傳送帶上運動的總時間。

【答案】1F1=60N,方向豎直向下212J38s

【解析】(1)設物塊B沿光滑曲面下滑到水平位置時的速度大小為v0.由機械能守恒知

mgRmv02=5 m/s

設物塊B滑到1/4圓弧的最低點C時受到的支持力大小為F,

由牛頓第二定律得:

解得F=60N

由牛頓第三定律得:物塊B滑到1/4圓弧的最低點C時受到的支持力大小為F1=60N,

方向豎直向下。

(2)設物塊B在傳送帶上滑動過程中因受摩擦力所產(chǎn)生的加速度大小為a,則

μmgma

設物塊B通過傳送帶后運動速度大小為v,有v2-v02=-2al

聯(lián)立解得v=4 m/s

由于v>u=2 m/s,所以v=4m/s即為物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小。

設物塊A、B第一次碰撞后的速度分別為v2、v1,取向左為正方向,

由動量守恒定律和能量守恒定律得

mvmv1Mv2

mv2mv12Mv22 ((動量守恒、能量守恒)

解得v1=-2m/s,v2=2m/s

彈簧具有的最大彈性勢能等于物塊M的初動能

EP=Mv22=12J

(3)碰撞后物塊B沿水平臺面向右勻速運動。

設物塊B在傳送帶上向右運動的最大位移為l′,

由動能定理得:-μmgl′=0-mv12

l′=2m<4.5m

所以物塊B不能通過傳送帶運動到右邊的曲面上.當物塊B在傳送帶上向右運動的速度為零后,將會沿傳送帶向左加速運動.可以判斷,物塊B運動到左邊臺面時的速度大小為

v1′=2m/s,繼而與物塊A發(fā)生第二次碰撞.設第1次碰撞到第2次碰撞之間,物塊B在傳送帶運動的時間為t1。

由動量定理得:μmgt1=2mv1

解得

設物塊AB第一次碰撞后的速度分別為v4、v3,取向左為正方向,由動量守恒定律和能量守恒定律得

mv1′=mv3Mv4

mv1′2mv32Mv42

解得v3=-1m/s

當物塊B在傳送帶上向右運動的速度為零后,將會沿傳送帶向左加速運動.可以判斷,物塊B運動到左邊臺面時的速度大小為v3′=1m/s,繼而與物塊發(fā)生第2次碰撞.則第2次碰撞到第3次碰撞之間,物塊B在傳送帶運動的時間為t2。

由動量定理得:μmgt2=2m v3

解得

同上計算可知

物塊B與物塊A第三次碰撞、第四次碰撞……n次碰撞后物塊B在傳送帶運動的時間為tn=s, 構成無窮等比數(shù)列,公比q=

由無窮等比數(shù)列求和公式可知,當n→∞時,有

物塊B經(jīng)第一次與物塊A碰撞后在傳送帶運動的總時間為

t==8s

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