Question

（2013?惠州一模）如圖所示，豎直放置的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距L，在M點(diǎn)和P點(diǎn)間接有一個(gè)阻值為R的電阻，在兩導(dǎo)軌間的矩形區(qū)域OO₁O₁′O′內(nèi)有垂直導(dǎo)軌平面向里、寬為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒ab垂直地?cái)R在導(dǎo)軌上，與磁場(chǎng)的上邊界相距d₀．現(xiàn)使ab棒由靜止開始釋放，棒ab在離開磁場(chǎng)前已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)（棒ab與導(dǎo)軌始終保持良好接觸且下落過(guò)程中始終保持水平，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)）．
（1）求棒ab離開磁場(chǎng)的下邊界時(shí)的速度大小．
（2）求棒ab在通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）試分析討論棒ab在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)情況．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，由安培力公式及平衡條件可以求出棒離開下邊界時(shí)的速度．
（2）由能量守恒定律可以求出金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）根據(jù)棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小，討論棒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況．

解答：解：（1）導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv，
電路中的感應(yīng)電流I=

E

r+R

，
導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：
mg-BIL=0，解得v=

mg(R+r)

B2L2

；
（2）設(shè)整個(gè)電路產(chǎn)生的焦耳熱是Q，
由能量守恒定律可得：mg（d₀+d）=Q+

1

2

mv²，
Q_ab=

r

r+R

Q，解得：Q_ab=

r

r+R

[mg（d₀+d）-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]；
（3）設(shè)導(dǎo)體棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₀，
由動(dòng)能定律可得：mgd₀=

1

2

mv₀²，解得：v₀=

2gd0

；
導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度v=

mg(R+r)

B2L2

，
①當(dāng)v=v₀，即d₀=

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)；
②當(dāng)v＜v₀，d₀＜

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場(chǎng)后先做加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)；
③當(dāng)v＞v₀，d₀＞

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場(chǎng)后先做減速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)；
答：（1）棒ab離開磁場(chǎng)的下邊界時(shí)的速度為

mg(R+r)

B2L2

．
（2）棒ab在通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱為

r

r+R

[mg（d₀+d）-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]．
（3）①當(dāng)v=v₀，即d₀=

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)；
②當(dāng)v＜v₀，d₀＜

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場(chǎng)后先做加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)；
③當(dāng)v＞v₀，d₀＞

m2g(R+r)2

2B4L4

時(shí)，棒進(jìn)入磁場(chǎng)后先做減速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng)：本題最后一問(wèn)是本題的難點(diǎn)，根據(jù)棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度進(jìn)行分析討論是正確解題的關(guān)鍵．