Question

人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)（設(shè)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)）時(shí)，既具有動(dòng)能又具有引力勢(shì)能（引力勢(shì)能實(shí)際上是衛(wèi)星與地球共有的，簡(jiǎn)略地說(shuō)此勢(shì)能是人造衛(wèi)星所具有的）。設(shè)地球的質(zhì)量為M，以衛(wèi)星離地還需無(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)的引力勢(shì)能為零，則質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在距離地心為r處時(shí)的引力勢(shì)能為（G為萬(wàn)有引力常量）。

   （1）試證明：在大氣層外任一軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星所具有的機(jī)械能的絕對(duì)值恰好等于其動(dòng)能。

   （2）當(dāng)物體在地球表面的速度等于或大于某一速度時(shí)，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造行星，這個(gè)速度叫做第二宇宙速度，用v₂表示。用R表示地球的半徑，M表示地球的質(zhì)量，G表示萬(wàn)有引力常量.試寫出第二宇宙速度的表達(dá)式。

    （3）設(shè)第一宇宙速度為v₁，證明：。

Answer 1

（1）    （2）

         （3）第一宇宙速度即為繞地球表面運(yùn)行的速度，故有：

  

得    所以有：

解析:

（1）設(shè)衛(wèi)星在半徑為r的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v，地球的質(zhì)量為M，

衛(wèi)星的質(zhì)量為m。有萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：

　                                  

所以，人造衛(wèi)星的動(dòng)能： 　        

         衛(wèi)星在軌道上具有的引力勢(shì)能為：   　

         所以衛(wèi)星具有的機(jī)械能為：

          

所以：                        

   （2）設(shè)物體在地于表面的速度為v₂，當(dāng)它脫離地球引力時(shí)，此時(shí)速度為零，由機(jī)械能守恒定律得：

                                                

得：                                      

   （3）第一宇宙速度即為繞地球表面運(yùn)行的速度，故有：

  

得       所以有：