Question

【題目】如圖所示，一個方向豎直向下的有界勻強電場，電場強度大小為E。勻強電場左右寬度和上下寬度均為L。一個帶正電荷的粒子(不計重力)從電場的左上方O1點以某一速度水平向右進入電場，該粒子剛好從電場的右下方A點離開電場；另一個質(zhì)量為m、帶電荷量為－q(q>0)的粒子(不計重力)從電場左下方O2點水平向右進入電場，進入電場時的初動能為Ek0。已知圖中O1、O2、A在同一豎直面內(nèi)，設(shè)O1點為坐標原點，水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立坐標系。

(1)求帶正電荷的粒子的運動軌跡方程；

(2)求帶負電荷的粒子運動到“帶正電荷粒子的運動軌跡”處的動能；

(3)當帶負電荷的粒子進入電場的初動能為多大時，它運動到“帶正電荷粒子運動軌跡”處時的動能最小?動能的最小值為多少?

Answer 1

【答案】(1)；(2) ；(3)，

【解析】

考察電場中帶電粒子運動的軌跡和能量變化。

取O1點為坐標原點，水平向右為x軸，豎直向下為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示。

(1)對從O1點進入電場的粒子，設(shè)該粒子的加速度為a1，初速度為v1，設(shè)經(jīng)過時間t，位置坐標為（x，y），有

水平方向

豎直方向

消去時間參數(shù)t得拋物線方程。

因為離開電場的A點坐標（L，L）在該拋物線上，所以坐標（L，L）滿足拋物線方程，把坐標（L，L）代入拋物線方程得，代入拋物線方程可得其軌跡方程

(2)對從O2點進入電場的粒子，設(shè)質(zhì)量為m、初速度為v0，加速度為a2，設(shè)經(jīng)過時間t，位移坐標為（x，y），有：

水平方向

豎直方向

，

消去時間參數(shù)t得：

由題意有，聯(lián)立求解得交點P（x,y)坐標為

，

從O2到P，對負粒子，根據(jù)動能定理有

解得。

(3) 變形為

由判別式=0

Ek=

解得Ek=（負值舍去），

二次函數(shù)開口向上，所以 ，即Ek的最小值為

時，電子進入電場的動能。

所以當帶負電荷的粒子進入電場的動能為時，它運動到“帶正電荷粒子運動軌跡”處時的動能最小，動能的最小值為。