Question

（2012?上海模擬）在一次國際城市運(yùn)動(dòng)會(huì)中，要求運(yùn)動(dòng)員從高為H=4m的平臺(tái)上A點(diǎn)由靜止出發(fā)，沿著動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2的滑道向下運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后水平滑出，最后落在水池中．滑道的水平距離L大小不變，設(shè)滑道的水平距離為L=5m，B點(diǎn)的高度h可由運(yùn)動(dòng)員自由調(diào)節(jié)，A點(diǎn)不動(dòng)，AB長度可以調(diào)整．（取g=10m/s²） 求：
（1）運(yùn)動(dòng)員要達(dá)到最大水平運(yùn)動(dòng)距離，B點(diǎn)的高度h應(yīng)調(diào)為多大？平拋過程的最大水平距離S_max為多少？
（2）為了研究物體從B點(diǎn)沿光滑拋物線軌道頂端無初速下滑的運(yùn)動(dòng)，制做一個(gè)與第（1）中運(yùn)動(dòng)員平拋軌跡完全相同的光滑軌道，并將該軌道固定在與BC曲線重合的位置，讓另一物體P沿該軌道無初速下滑（下滑過程中始終不會(huì)脫離軌道），則物體P通過軌道最低點(diǎn)C時(shí)的水平分速度和豎直分速度大�。�

Answer 1

分析：（1）運(yùn)動(dòng)員在滑道上有重力和摩擦力做功，由動(dòng)能定理可求得運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B點(diǎn)的速度；離開滑道后，運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平距離與初速度的關(guān)系，聯(lián)立得出水平距離與h的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求得出最大水平距離及B的高度．
（2）對于物體離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的過程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得在C點(diǎn)水平速度和豎直速度的方向與實(shí)際速度方向夾角．物體P從B到C的過程中滿足機(jī)械能守恒定律，根據(jù)題意，軌跡相同，在任意點(diǎn)它們的速度方向相同，根據(jù)機(jī)械能守恒列式，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)斜面長度為L₁，斜面傾角為α，由A運(yùn)動(dòng)到B過程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
   mg(H-h)-μmg?L1cosα=

1

2

m

v

2 0

-0
解得v0=

2g(H-h-μL)

平拋運(yùn)動(dòng)過程：s=v₀t，
              h=

1

2

gt2
解得　s=2

(H-μL-h)h

=2

-h2+(H-μL)h

當(dāng)h=-

H-μL

2×(-1)

=

1

2

(H-μL)=1.5m時(shí)，s有最大值，S_max=3m．
（2）對BC運(yùn)動(dòng)軌跡：y=

1

2

gt²，t=

0.3

s，
所以落到C點(diǎn)時(shí)的豎直分速度大小是v_y=

30

m/s．
又因水平分速度大小為v_B=v₀=

30

m/s，所以物體在C點(diǎn)水平速度和豎直速度的方向與實(shí)際速度方向夾角都是45° 角．    
物體P從B到C的過程中滿足機(jī)械能守恒定律，mgh=

1

2

mv_c²，得v_c=

30

m/s，
因軌跡相同，所以在任意點(diǎn)它們的速度方向相同，所以到C點(diǎn)后水平分速度和豎直分速度的大小是
v_x=v_y=

2

2

vc=

15

m/s
答：
（1）運(yùn)動(dòng)員要達(dá)到最大水平運(yùn)動(dòng)距離，B點(diǎn)的高度h應(yīng)調(diào)為1.5m，平拋過程的最大水平距離S_max為3m．
（2）物體P通過軌道最低點(diǎn)C時(shí)的水平分速度和豎直分速度大小都是

15

m/s．

點(diǎn)評：物體在恒力作用下可由動(dòng)能定理求解，難點(diǎn)在于數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，平時(shí)學(xué)習(xí)中要注意數(shù)學(xué)知識的積累和解題能力的培養(yǎng)．