Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，x軸上方存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，x軸下方存在垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一個(gè)靜止的帶正電粒子位于y軸正半軸的A（0，h）點(diǎn)，某時(shí)刻由于內(nèi)部作用，分裂成兩個(gè)電荷量都為+q的粒子a和b，分別沿x軸正方向和負(fù)方向進(jìn)入電場(chǎng)。已知粒子a的質(zhì)量為m，粒子a進(jìn)入第一象限的動(dòng)量大小為p。設(shè)分裂過(guò)程不考慮外力的作用，在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用。求：

（1）粒子a第一次通過(guò)x軸時(shí)離原點(diǎn)O的距離x；

（2）粒子a第二次通過(guò)x軸時(shí)與第一次通過(guò)x軸時(shí)兩點(diǎn)間的距離L；

（3）若b粒子質(zhì)量為a粒子質(zhì)量的k倍，請(qǐng)利用（1）（2）中的結(jié)論推出xb與Lb的表達(dá)式。假設(shè)（1）（2）中的x=L，a粒子完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)時(shí)到達(dá)第一象限中的N點(diǎn)。現(xiàn)要使b粒子也能到達(dá)N點(diǎn)，試求k值應(yīng)滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1）x＝p（2）L＝（3） （其中n=1、2、3…，且k＞0）

【解析】試題分析：粒子a在電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)公式求出粒子a第一次通過(guò)x軸時(shí)離原點(diǎn)O的距離x；粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，求出半徑表達(dá)式，再根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子a第二次通過(guò)x軸時(shí)與第一次通過(guò)x軸時(shí)兩點(diǎn)間的距離L; 兩粒子在分裂過(guò)程中遵守動(dòng)量守恒定律，粒子b進(jìn)入電場(chǎng)的初動(dòng)量大小也為p，方向沿x軸負(fù)方向，畫(huà)出粒子的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出k值應(yīng)滿足的條件。

（1）如圖所示，粒子a在電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示

在水平方向：

在豎直方向：

粒子所受的電場(chǎng)力為：

粒子的動(dòng)量為：

聯(lián)立以上解得：

（2）粒子a進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，設(shè)速度為v，與x軸正方向成 角，則

在豎直方向有：

在豎直方向的分速度為：

粒子a在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌跡半徑為r，

由洛倫茲力提供向心力：

由幾何知識(shí)得：

聯(lián)立以上解得：

（3）兩粒子在分裂過(guò)程中遵守動(dòng)量守恒定律，粒子b進(jìn)入電場(chǎng)的初動(dòng)量大小也為p，方向沿x軸負(fù)方向。

由于b的質(zhì)量為km，利用（1）（2）中的結(jié)論可得：

或

或

若a粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有x=L，則一個(gè)周期后達(dá)到N點(diǎn)離y軸距離就為3L。

要使粒子b也能到達(dá)N點(diǎn)，由于粒子b的運(yùn)動(dòng)是周期性運(yùn)動(dòng)，如圖所示

為粒子b一個(gè)周期恰好達(dá)到N點(diǎn)時(shí)的軌跡圖。粒子b還可能經(jīng)過(guò)n個(gè)周期到達(dá)N點(diǎn)，每個(gè)周期粒子b都要向右平移一小段距離3L/n。則b粒子到達(dá)N點(diǎn)的條件方程為：

聯(lián)立以上解得：（其中n=1、2、3…,且k>0）