Question

磁懸浮列車(chē)是一種高速運(yùn)載工具，它由兩個(gè)系統(tǒng)組成．一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力使車(chē)體在軌道上懸浮起來(lái)從而減小阻力．另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，即利用磁場(chǎng)與固定在車(chē)體下部的感應(yīng)金屬線(xiàn)圈相互作用，使車(chē)體獲得牽引力，圖22就是這種磁懸浮列車(chē)電磁驅(qū)動(dòng)裝置的原理示意圖．即在水平面上有兩根很長(zhǎng)的平行軌道PQ和MN，軌道間有垂直軌道平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B．列車(chē)底部固定著繞有N匝閉合的矩形金屬線(xiàn)圈abcd（列車(chē)的車(chē)廂在圖中未畫(huà)出），車(chē)廂與線(xiàn)圈絕緣．兩軌道間距及線(xiàn)圈垂直軌道的ab邊長(zhǎng)均為L(zhǎng)，兩磁場(chǎng)的寬度均與線(xiàn)圈的ad邊長(zhǎng)相同．當(dāng)兩磁場(chǎng)B_l和B₂同時(shí)沿軌道方向向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)圈會(huì)受到向右的磁場(chǎng)力，帶動(dòng)列車(chē)沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)．已知列車(chē)車(chē)廂及線(xiàn)圈的總質(zhì)量為M，整個(gè)線(xiàn)圈的總電阻為R．
（1）假設(shè)用兩磁場(chǎng)同時(shí)水平向右以速度v₀作勻速運(yùn)動(dòng)來(lái)起動(dòng)列車(chē)，為使列車(chē)能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，列車(chē)所受的阻力大小應(yīng)滿(mǎn)足的條件；
（2）設(shè)列車(chē)所受阻力大小恒為f，假如使列車(chē)水平向右以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)，求維持列車(chē)運(yùn)動(dòng)外界在單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量；
（3）設(shè)列車(chē)所受阻力大小恒為f，假如用兩磁場(chǎng)由靜止開(kāi)始向右做勻加速運(yùn)動(dòng)來(lái)起動(dòng)列車(chē)，當(dāng)兩磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁時(shí)，列車(chē)正在向右做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)列車(chē)的速度為v₁，求兩磁場(chǎng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到列車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間t₀．

Answer 1

分析：（1）以磁場(chǎng)為參考系，列車(chē)向左切割磁場(chǎng)，兩條邊均產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，當(dāng)列車(chē)靜止時(shí)，相對(duì)速度最大，產(chǎn)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，感應(yīng)電流最大，所受的安培力最大，為使列車(chē)能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，列車(chē)所受的阻力大小應(yīng)小于線(xiàn)框所受的安培力．
（2）列車(chē)水平向右以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于磁場(chǎng)向左運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)框所受的安培力與阻力大小相等，根據(jù)受力平衡，求出電流I，再根據(jù)能量守恒定律E=I²R+fv求出單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量．
（3）為實(shí)現(xiàn)列車(chē)最終沿水平方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其加速度必須與兩磁場(chǎng)由靜止開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度相同，t₁時(shí)刻金屬線(xiàn)圈中的電動(dòng)勢(shì) E=2NBL（at₁-v₁），根據(jù)所受的安培力，結(jié)合牛頓第二定律求出列車(chē)最終的加速度．
從磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到列車(chē)起動(dòng)需要時(shí)間為t₀，t₀時(shí)刻金屬線(xiàn)圈中的電動(dòng)勢(shì)E₀=2NBLat₀，當(dāng)t₀時(shí)刻時(shí)安培力增大到與阻力相等，根據(jù)安培力等于阻力求出t₀．

解答：解：（1）列車(chē)靜止時(shí)，電流最大，列車(chē)受到的電磁驅(qū)動(dòng)力最大設(shè)為F_m，此時(shí)，線(xiàn)框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)                    
 E₁=2NBLv₀
線(xiàn)框中的電流      I₁=

E1

R

整個(gè)線(xiàn)框受到的安培力    F_m=2NBI₁L
列車(chē)所受阻力大小為fm＜Fm=

4N2B2L2v0

R

（2）當(dāng)列車(chē)以速度v勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩磁場(chǎng)水平向右運(yùn)動(dòng)的速度為v′，金屬框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=2NBL（v'-v）
金屬框中感應(yīng)電流I=

2NBL(v′-v)

R

又因?yàn)?nbsp;           F=2NBIL=f
求得           v′=v+

fR

4N2B2L2

當(dāng)列車(chē)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬框中的熱功率為   P₁=I²R
克服阻力的功率為     P₂=fv
所以可求得外界在單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量為
E=I²R+fv=fv+

f2R

4N2B2L2

（3）根據(jù)題意分析可得，為實(shí)現(xiàn)列車(chē)最終沿水平方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其加速度必須與兩磁場(chǎng)由靜止開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度相同，設(shè)加速度為a，則t₁時(shí)刻金屬線(xiàn)圈中的電動(dòng)勢(shì)                 
                 E=2NBL（at₁-v₁）
金屬框中感應(yīng)電流              I=

2NB L (at1-v1)

R

又因?yàn)榘才嗔?nbsp;             F=2NBIL=

4N2B2L2(at1-v1)

R

所以對(duì)列車(chē)，由牛頓第二定律得    

4N2B2L2(at1-v1)

R

-f=Ma
解得                    a=

fR+4N2B2L2v1

4N2B2L2t1-MR

設(shè)從磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到列車(chē)起動(dòng)需要時(shí)間為t₀，則t₀時(shí)刻金屬線(xiàn)圈中的電動(dòng)勢(shì)   E₀=2NBLat₀
金屬框中感應(yīng)電流         I0=

2NBLat0

R

又因?yàn)榘才嗔?nbsp;          F0=2NBIL=

4N2B2L2at0

R

所以對(duì)列車(chē)，由牛頓第二定律得   

4N2B2L2at0

R

=f
解得        t0=

fR

4N2B2L2a

=

fR(4N2B2L2t1-MR)

4N2B2L2(fR+4N2B2L2v1)

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵以磁場(chǎng)為參考系，線(xiàn)圈做切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而受到安培力，在安培力和阻力的作用下運(yùn)動(dòng)．