Question

（2009?德陽模擬）在光滑水平面上有兩個可視為質點的小球A、B，m_A=1kg，m_B=0.5kg在兩球間存在一有限區(qū)域：當兩小球均在該區(qū)域內或者任一小球在該區(qū)域內兩球間就有相互作用的恒定斥力F=1N，當兩小球均在該區(qū)域外時兩球間無作用力．A球離作用區(qū)左邊界S_A=20m，B在作用區(qū)右邊界處，作用區(qū)長度L=5.5m．現(xiàn)使A以初速度v_A=8m/s、B球以初速度v_B=2m/s相向運動．求：
（1）A從開始運動到完全穿過作用區(qū)所用時間
（2）適當調節(jié)作用區(qū)的寬度或作用力大小，可使A穿過作用區(qū)后A、B兩球的總動能最小，求A、B兩球的最小總動能．

Answer 1

分析：（1）A從開始運動到完全穿過作用區(qū)時，兩球間存在相互作用力，大小為F，A球做勻減速運動，B球做勻減速運動，根據(jù)牛頓第二定律可求得兩球的加速度大�。�根據(jù)運動學公式求出B在作用區(qū)中運動的最遠距離．對B，運用動量定理求出B從進入作用區(qū)到穿出作用區(qū)的時間，運用運動學公式求出A運動勻減速運動的距離，再求解勻速運動的時間，分過程求解．
（2）要使A、B的動能之和最小，A穿過作用區(qū)后與B速度相等，即可求得A、B兩球的最小總動能．

解答：解：（1）B球受作用力的加速度為：a_B=

F

mB

=

1

0.5

m/s²=2m/s²
A球受作用力的加速度為：a_A=

F

mA

=

1

1

m/s²=1m/s²
B在作用區(qū)中運動的最遠距離為：S_m=

v 2 B

2aB

=

22

2×2

m=1m
B從進入作用區(qū)到穿出作用區(qū)用時有：Ft₁=2m_Bv_B 
代人數(shù)據(jù)解得：t₁=

2mBvB

F

=

2×0.5×2

1

s=2s
A運動勻減速運動的距離為：S₁=v_At₁-

1

2

aA

t

2 1

=（8×2-

1

2

×1×22）m=14m
A的速度為：v₁=v_A-a_At₁=（8-1×2）m/s=6m/s    
A勻速運動的時間為：t₂=

SA-S1

v1

=

20-14

6

s=1s
A穿出作用區(qū)用時為：L=v₁t₃-

1

2

aA

t

2 3

代人數(shù)據(jù)得：5.5=6×t₃-

1

2

×1×

t

2 3

解得，t₃=1s （另一解t₃=11s，因A做勻減速運動，速度減小，若t₃=11s，A穿過相互作用區(qū)時，速度為：v₃=v₁-a_At₃=6-1×11=-5m/s，說明A回頭，不能穿過相互作用區(qū)，不合理，故舍去）
故A從開始運動到完全穿過作用區(qū)所用時間為：t=t₁+t₂+t₃=4s
（2）要使A、B的動能之和最小，則A穿過作用區(qū)后與B速度相等
右動量守恒得：m_Av_A-m_Bv_B=（m_A+m_B）v
A、B的動能之和為：E_k=

1

2

(mA+mB)v2
解得：E_k=16.3J
答：（1）A從開始運動到完全穿過作用區(qū)所用時間為4s．
（2）A、B兩球的最小總動能為16.3J．

點評：本題分析清楚A、B運動的過程是關鍵，運用牛頓第二定律和運動學公式結合進行判斷．