Question

在如圖所示的xoy坐標(biāo)系中，僅在x軸上方有垂直于xoy平面向里、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ．質(zhì)量為m，電荷量為q的負(fù)粒子在xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻經(jīng)過(guò)y軸上y=a的P點(diǎn)，速度方向與y軸正方向夾角為θ=30°，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀粒子第一次經(jīng)過(guò)x軸，速度方向與粒子在P點(diǎn)速度方向相反，不計(jì)重力．
（1）求粒子運(yùn)動(dòng)的速率v₀和磁場(chǎng)Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁；
（2）若粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，在x軸上方再疊加一個(gè)方向垂直于xoy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，使粒子能在磁場(chǎng)中做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小和方向；
（3）若粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，加一方向在xoy平面內(nèi)的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)了A（2x₀，y_A）、C（x₀，y_C）兩點(diǎn)，如圖所示，粒子在A點(diǎn)的動(dòng)能是P點(diǎn)動(dòng)能的

1

3

，在C點(diǎn)的動(dòng)能是P點(diǎn)動(dòng)能的

2

3

，求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向．

Answer 1

（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半周，v₀t₀=πr，
圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=

a

2

sinθ=a，
解得：v0=

πa

t0

又t₀=

1

2

T=

2πm

qB1

，
解得：B1=

πm

qt0

（2）有兩種情況：
①B₂與B₁同向，粒子順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，若最大半徑為r₁，對(duì)應(yīng)的（B₁+B₂）最小，
這時(shí)qv0(B1+B2)=m

v 20

r1

r₁+r₁sin30°=a，
所以r₁=

2a

3

解得：B2=

πm

2qt0

所以當(dāng)B₂方向垂直xoy平面向里時(shí)，應(yīng)滿足B2≥

πm

2qt0

（B2＞

πm

2qt0

亦可）
②B₂與B₁反向，粒子逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑最大（設(shè)為r₂）時(shí)，對(duì)應(yīng)的（B₂-B₁）最小，
這時(shí)qv0(B2-B1)=m

v 20

r2

r₂-r₂sin30°=a，
解得：B22=

3πm

2qt0

所以B₂方向垂直xoy平面向外時(shí)，應(yīng)滿足B2≥

3πm

2qt0

（B2＞

3πm

2qt0

亦可）
（3）粒子從P點(diǎn)到A點(diǎn)，-qUPA=

1

3

EkA-EkP
粒子從P點(diǎn)到A點(diǎn)，-qUPC=

2

3

EkP-EkP
解得：UPA=

π2ma2

3q t 20

=2UPC
即φ_P-φ_A=2（φ_P-φ_C），
所以：φC=

φA+φP

2

所以C點(diǎn)電勢(shì)與PA連線中點(diǎn)D等電勢(shì)，
故電場(chǎng)方向沿+x方向，場(chǎng)強(qiáng)大小為：E=

UPA

2x0

=

π2ma2

6qx0 t 20

；
答：（1）粒子運(yùn)動(dòng)的速率v₀為

πa

t0

磁場(chǎng)Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁為

πm

qt0

；
（2）若B₂與B₁同向，勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小B2≥

πm

2qt0

；若B₂與B₁反向，勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小B2＞

πm

2qt0

；
（3）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為

π2ma2

6qx0t02

，方向沿+x方向．