Question

(12分)如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態(tài)時其右端位于B點。水平桌面右側有一豎直放置的軌道MNP，其形狀為半徑R＝1.0m圓環(huán)剪去了左上角120°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點到桌面的數值距離是h＝2.4m。用質量m₁＝0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后彈簧恢復原長時物塊恰停止在B點，用同種材料、質量為m₂＝0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點釋放，物塊通過B點后做勻變速運動，其位移與時間的關系為x＝6t－2t²，物塊飛離桌面后恰好由P點沿切線落入圓軌道(不計空氣阻力，g取10m/s²)。求：

⑴物塊m₂過B點時的瞬時速度v_B及與桌面間的滑動摩擦因數μ；

⑵若軌道MNP光滑，物塊m₂經過軌道最低點N時對軌道的壓力F_N；＝×－·

⑶若物塊m₂剛好能到達軌道最高點M，則釋放m₂后整個運動過程中其克服摩擦力做的功W。

 

Answer 1

【答案】

 ⑴v_B＝6m/s，μ＝0.4；⑵F_N＝16.8N；⑶W＝8.0J

【解析】

試題分析：⑴由題意質量為m₂的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點釋放，物塊通過B點后做勻變速運動，其位移與時間的關系為x＝6t－2t²可知，物塊m₂過B點時的瞬時速度為：v_B＝6m/s，加速度為：a＝－4m/s²①

物塊離開B點后在桌面上受重力m₂g、桌面的支持力N和滑動摩擦力f作用，根據牛頓第二定律可知，在水平方向上有：－f＝m₂a                ②

在豎直方向上有：N－m₂g＝0               ③

根據滑動摩擦定律有：f＝μN                ④

由①②③④式聯立解得：μ＝＝0.4

⑵物塊從D點離開桌面后做平拋運動，設至P點時速度在豎直方向上的分量為v_y，則在豎直方向上，根據自由落體運動規(guī)律有：h＝            ⑤

因物塊由P點沿切線落入圓軌道，由幾何關系和物塊水平方向做勻速運動的規(guī)律可知：v_y＝v_Dtan60° ⑥

物塊由D運動至N的過程中，只有重力做功，根據動能定理有：m₂g(h＋R－Rcos60°)＝－⑦

在N點處，物塊受重力m₂g和圓軌道的支持力F_N′作用，根據牛頓第二定律有：F_N′－m₂g＝   ⑧

根據牛頓第三定律可知，物塊m₂經過軌道最低點N時對軌道的壓力F_N＝F_N′              ⑨

由⑤⑥⑦⑧⑨式聯立解得：F_N＝＋m₂g(3－2cos60°)＝16.8N

⑶設CB距離為x₁，BD距離為x₂，在物塊m₁由C運動至B的過程中，根據功能關系有：E_p＝μm₁gx₁   ⑩

在物塊m₂由C運動至B的過程中，根據功能關系有：E_p＝μm₂gx₁＋             ⑪

在物塊m₂由B運動至D的過程中，根據動能定理有：－μm₂gx₂＝－           ⑫

由于物塊m₂恰好通過圓軌道的最高點M，設通過速度為v_M，根據牛頓第二定律有：m₂g＝   ⑬

設物塊m₂運動至P點時的速度為v_P，在m₂由P運動至M的過程中，克服摩擦力做功為W₃，根據動能定理有：－m₂g(R＋Rcos60°)－W₃＝－           ⑭

根據幾何關系可知：v_P＝           ⑮

釋放m₂后整個運動過程中其克服摩擦力做的功為：W＝μm₂gx₁＋μm₂gx₂＋W₃              ⑯

由①⑤⑥⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯式聯立解得：W＝＋m₂gh(－)－m₂gR(＋cos60°)

代入數據解得：W＝7.2J＋4.8J－4.0J＝8.0J

考點：本題綜合考查了勻變速直線運動規(guī)律、牛頓運動定律、平拋運動規(guī)律、運動的合成與分解、動能定理、功能關系的應用問題，屬于較難題。