Question

（1）開普勒從1609年～1619年發(fā)表了著名的開普勒行星運動三定律，其中第一定律為：所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運動，太陽在這個橢圓的一個焦點上。第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等.實踐證明，開普勒三定律也適用于其他中心天體的衛(wèi)星運動。

（２）從地球表面向火星發(fā)射火星探測器.設地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運動，火星軌道半徑R_m為地球軌道半徑R_０的1.5倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進行加速，使之獲得足夠動能，從而脫離地球引力作用成為一個沿地球軌道運動的人造行星。第二步是在適當時刻點燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機，在短時間內(nèi)對探測器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當值，從而使得探測器沿著一個與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道正好射到火星上.當探測器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運行后，在某年3月1日零時測得探測器與火星之間的角距離為60°，如圖所示，問應在何年何月何日點燃探測器上的火箭發(fā)動機方能使探測器恰好落在火星表面?(時間計算僅需精確到日)，已知地球半徑為：；；

Answer 1

4月7日

 
(題中信息：“從地面向火星發(fā)射火星探測器的兩個步驟……”，表明：為使探測器落到火星上，必須選擇適當時機點燃探測器上的發(fā)動機，使探測器沿橢圓軌道到達火星軌道的相切點，同時，火星也恰好運行到該點，為此必須首先確定點燃時刻兩者的相對位置)因探測器在地球公轉(zhuǎn)軌道運行周期與地球公轉(zhuǎn)周期相等：探測器在點火前繞太陽轉(zhuǎn)動角速度
ω_ｄ＝ω_ｅ＝＝
由(題中信息)開普勒第三定律得：探測器在橢圓軌道上運行周期：T^′_ｄ＝Ｔ_ｅ＝365×1.400天＝510天
因此，探測器從點火到到達火星所需時間：
t＝＝
火星公轉(zhuǎn)周期：
T_m＝Ｔ_ｅ＝
火星繞太陽轉(zhuǎn)動的角速度：
由于探測器運行至火星需255天，在此期間火星繞太陽運行的角度：
即：探測器在橢圓軌道近日點點火時，火星在遠日點的切點之前137°.
亦即，點燃火箭發(fā)動機時，探測器與火星角距離應為
（如圖)
已知某年3月1日零時，探測器與火星角距離為60°（火星在前，探測器在后)為使其角距離變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140825/20140825004503467592.png" style="vertical-align:middle;" />，必須等待時間
則：
所以：
故點燃發(fā)動機時刻應為當年3月1日后38天，即4月7日.