Question

如圖所示的凹形場(chǎng)地，兩端是半徑為L(zhǎng)的光滑

1

4

圓弧面，中間是長(zhǎng)為4L的粗糙水平面質(zhì)量為3m的乙開(kāi)始停住水平面的中點(diǎn)O處，質(zhì)量為m的甲從光滑圓弧面的A處無(wú)初速度地滑下，進(jìn)入水平面后與乙碰撞，且碰后以碰前一半的速度反彈，已知甲、乙與水平而的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁、μ₂，且μ₁=2μ₂．甲、乙的體積大小忽略不計(jì)，求：
（1）甲與乙碰撞前的速度；
（2）由于碰撞而損失的機(jī)械能；
（3）甲、乙在O處發(fā)生碰撞后．剛好不再發(fā)生碰撞，甲、乙停在距B點(diǎn)多遠(yuǎn)處．

Answer 1

分析：（1）甲從下滑到與乙碰撞前，重力和摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求解甲與乙碰撞前的速度；
（2）甲乙碰撞過(guò)程，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出碰撞后乙的速度，根據(jù)能量守恒求解由于碰撞而損失的機(jī)械能；
（3）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出甲乙兩物體碰撞后在水平地面上通過(guò)的路程之比．由題，甲、乙剛好不再發(fā)生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地點(diǎn)停下，有以下兩種情況：第一種情況：甲返回時(shí)未到達(dá)B點(diǎn)時(shí)就已經(jīng)停下，分析能否發(fā)生；第二種情況：甲、乙分別通過(guò)B、C沖上圓弧面后，返回水平面后相向運(yùn)動(dòng)停在同一地點(diǎn)，所以有
s₁+s₂=8L．求出s₁或s₂，即可求出甲、乙停在距B點(diǎn)距離．

解答：解：（1）設(shè)甲到達(dá)O處與乙碰撞前的速度為v_甲，由動(dòng)能定理得：
  m_甲gL-μ₁m_甲g?2L=

1

2

m甲

v

2 甲

解得：v甲=

2gL(1-2μ1)

（2）設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲′、v_乙′，由動(dòng)量守恒得：
   m_甲v_甲=m_甲v_甲′+m_乙v_乙′，
解得：v_乙′=

1

2

2gL(1-2μ1)

根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得，損失的機(jī)械能為：△E=

1

2

m甲

v

2 甲

-

1

2

m甲

v

′2 甲

-

1

2

m乙

v

′2 乙

解得△E=0
（3）由于μ₁=2μ₂，所以甲、乙在水平面上運(yùn)動(dòng)的加速度滿(mǎn)足：a_甲=2a_乙．
設(shè)甲在水平地面上通過(guò)的路程為s₁，乙在水平地面上通過(guò)的路程為s₂，則有：
   

v

′2 甲

=2a_甲s₁，
   

v

′2 乙

=2a_乙s₂，
得：

s1

s2

=

1

2

  ①
由于甲、乙剛好不再發(fā)生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地點(diǎn)停下，有以下兩種情況：
  第一種情況：甲返回時(shí)未到達(dá)B點(diǎn)時(shí)就已經(jīng)停下，此時(shí)有：s₁＜2L，而乙停在甲所在位置時(shí)，乙通過(guò)的路程為：s₂=2L+2L+s₁=4L+s₁．
因?yàn)閟₁與s₂不能滿(mǎn)足①，因此這種情況不能發(fā)生．
第二種情況：甲、乙分別通過(guò)B、C沖上圓弧面后，返回水平面后相向運(yùn)動(dòng)停在同一地點(diǎn)，所以有
   s₁+s₂=8L   ②
①②式得：s1=

8L

3

或s2=

16L

3

即甲、乙停在距B點(diǎn)距離為：△L=s₁-2L=

2

3

L
答：
（1）甲與乙碰撞前的速度是

2gL(1-2μ1)

；
（2）由于碰撞而損失的機(jī)械能為零．
（3）甲、乙在O處發(fā)生碰撞后．剛好不再發(fā)生碰撞，甲、乙停在距B點(diǎn)

2

3

L．

點(diǎn)評(píng)：本題前2問(wèn)是常規(guī)問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理求速度、根據(jù)碰撞的基本規(guī)律：動(dòng)量守恒定律求解碰撞乙的速度，得到動(dòng)能的損失．第3問(wèn)考查分析物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的能力．