Question

如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)、電阻不計(jì)、間距為d的光滑平行金屬導(dǎo)軌，其所在平面與水平面的夾角為θ，導(dǎo)軌平面內(nèi)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面向上，ab與cd之間相距為L(zhǎng)，金屬桿甲、乙的阻值相同，質(zhì)量均為m，甲桿在磁場(chǎng)區(qū)域的上邊界ab處，乙桿在甲桿上方與甲相距L處，甲、乙兩桿都與導(dǎo)軌垂直．靜止釋放兩桿的同時(shí)，在甲桿上施加一個(gè)垂直于桿平行于導(dǎo)軌的外力F，使甲桿在有磁場(chǎng)的矩形區(qū)域內(nèi)向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a＝2gsin θ，甲離開磁場(chǎng)時(shí)撤去F，乙桿進(jìn)入磁場(chǎng)后恰好做勻速運(yùn)動(dòng)，然后離開磁場(chǎng)．

(1)求每根金屬桿的電阻R.
(2)從釋放金屬桿開始計(jì)時(shí)，求外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系式，并說明F的方向．
(3)若整個(gè)過程中，乙金屬桿共產(chǎn)生熱量Q，求外力F對(duì)甲金屬桿做的功W.

Answer 1

(1) 
(2)mgsin θ＋mgsin θ·t(0≤t≤)，方向垂直于桿且平行于導(dǎo)軌向下
(3)W＝2Q

(1)設(shè)甲在磁場(chǎng)區(qū)域abcd內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，乙從釋放到運(yùn)動(dòng)至ab位置的時(shí)間為t₂，則L＝·2gsin θ·t，
L＝gsin θ·t
所以t₁＝，t₂＝
因t₁＜t₂，所以甲離開磁場(chǎng)時(shí)，乙還沒有進(jìn)入磁場(chǎng)
設(shè)乙進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₁，乙中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁，回路中的電流為I₁，則有
mv＝mgLsin θ，E₁＝Bdv₁，I₁＝，mgsin θ＝BI₁d
聯(lián)立解得R＝.
(2)從釋放金屬桿開始計(jì)時(shí)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，甲的速度為v，甲中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，回路中的電流為I，則v＝at，E＝Bdv，I＝，F(xiàn)＋mgsin θ－BId＝ma
聯(lián)立解得F＝mgsin θ＋mgsin θ·t(0≤t≤)
方向垂直于桿且平行于導(dǎo)軌向下．
(3)甲在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過程中，乙沒有進(jìn)入磁場(chǎng)，設(shè)甲離開磁場(chǎng)時(shí)速度為v₀，甲、乙產(chǎn)生的熱量相同，設(shè)為Q₁，則v＝2aL
由功能關(guān)系知W＋mgLsin θ＝2Q₁＋mv
解得W＝2Q₁＋mgLsin θ
乙在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過程中，甲、乙產(chǎn)生相同的熱量，設(shè)為Q₂，則2Q₂＝mgLsin θ
根據(jù)題意有Q＝Q₁＋Q₂
聯(lián)立解得W＝2Q.