Question

如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的寬度都是d₁，相鄰磁場(chǎng)區(qū)域的間距均為d₂，x軸的正上方有一電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向與x軸和B均垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，將質(zhì)量為m、帶正電量為q的粒子（重力忽略不計(jì)）從y軸上坐標(biāo)為h處由靜止釋放．求：
（1）粒子在磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（2）若粒子經(jīng)磁場(chǎng)區(qū)域I、II后回到x軸，則粒子從開(kāi)始釋放經(jīng)磁場(chǎng)后第一次回到x軸需要的時(shí)間和位置坐標(biāo)．
（3）若粒子從y軸上坐標(biāo)為H處以初速度v₀沿x軸正方向水平射出，此后運(yùn)動(dòng)中最遠(yuǎn)能到達(dá)第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的下邊緣，并再次返回到x軸，求d₁、d₂的值．

Answer 1

分析：（1）、首先利用電場(chǎng)的加速求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，再利用帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)規(guī)律，可求出在磁場(chǎng)中的軌道半徑．
（2）、處理該題，首先要分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程：粒子是先加速，然后進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ，在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，再由磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ依次通過(guò)無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域和磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ到達(dá)x軸．分段進(jìn)行計(jì)算．
（3）、粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，利用相關(guān)知識(shí)可以求出進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)半徑公式來(lái)分析d₁、d₂的取值范圍．

解答：解：
（1）、設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，粒子在電場(chǎng)中做加速運(yùn)動(dòng)，由功能關(guān)系有：
qEh=

1

2

mv2…①
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，有：
R=

mv

qB

…②
①②兩式聯(lián)立得：
R=

2mEh qB2

（2）、設(shè)粒子在電場(chǎng)中的加速時(shí)間為t₁，則有：
h=

1

2

Eq

m

t

2 1

，得t1=

2mh Eq

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，則t2=

1

2

T，T=

2πm

qB

，則可得：
t2=

πm

qB

設(shè)粒子在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₃，則t3=

2d2

vcosα

，
又因cosα=

R2- d 2 1

R

將v、R代入t3=

2d2

vcosα

，得：
t3=

2md2

2mEqh-B2 q2d 2 1

則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
t=t1+t2+t3=

2mh qE

+

πm

qB

+

2md2

2mEqh-B2 q2d 2 1

設(shè)粒子回到x軸的坐標(biāo)為x，則有：
x=2R+2d₂tanα
解得：x=2

2mEh qB2

+

2d1d2

2mEh qB2 - d 2 1

．
（3）粒子在電場(chǎng)中類(lèi)平拋，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v₂，則有：
v2=

v 2 0 +v 2 y

，且有vy=

2EqH m

v₂與水平方向的夾角有：cosβ=

v0

v2

粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)半徑為：R=

mv2

qB

因粒子最遠(yuǎn)到達(dá)第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的下邊緣，有：
kd₁=R（1-cosβ）
解得：d1=

m( v 2 0 + 2EqH m -v0 )

kqB

．
粒子在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故d₂可以取任意值．
答：（1）粒子在磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

2mEh qB2

．
（2）粒子從開(kāi)始釋放經(jīng)磁場(chǎng)后第一次回到x軸需要的時(shí)間為

2mh qE

+

πm

qB

+

2md2

2mEqh-B2 q2d 2 1

，位置坐標(biāo)為2

2mEh qB2

+

2d1d2

2mEh qB2 - d 2 1

．
（3）若粒子從y軸上坐標(biāo)為H處以初速度v₀沿x軸正方向水平射出，此后運(yùn)動(dòng)中最遠(yuǎn)能到達(dá)第k個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的下邊緣，并再次返回到x軸，d₁的值為

m( v 2 0 + 2EqH m -v0 )

kqB

，d₂可以取任意值．

點(diǎn)評(píng)：該題是一道綜合性較強(qiáng)的題，主要是考察了帶電粒子在電場(chǎng)中的加速、偏轉(zhuǎn)和在磁場(chǎng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法是對(duì)過(guò)程進(jìn)行分段，對(duì)各個(gè)段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行具體分析，利用相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行解答．這要求我們要對(duì)帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律要了如指掌，尤其是帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，確定軌跡的圓心是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．