Question

如圖所示，一輕質(zhì)彈簧豎直固定在地面上，上面連接一個(gè)質(zhì)量m₁=1.0kg的物體A，平衡時(shí)物體下表面距地面h₁= 40cm，彈簧的彈性勢能E₀=0.50J。在距物體m₁正上方高為h= 45cm處有一個(gè)質(zhì)量m₂=1.0kg的物體B自由下落后，與物體Ａ碰撞并立即以相同的速度運(yùn)動(dòng)（兩物體粘連在一起），當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí)，物體距地面的高度h₂=6.55cm。g=10m/s²。

（1）已知彈簧的形變（拉伸或者壓縮）量為x時(shí)的彈性勢能，式中k為彈簧的勁度系數(shù)。求彈簧不受作用力時(shí)的自然長度l₀；
（2）求兩物體做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅;
（3）求兩物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的彈性勢能。

Answer 1

（1）0.50m    （2）23.45cm                （3）6.0×10^-2J

（1）設(shè)物體A在彈簧上平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x₁，彈簧的勁度系數(shù)為k
根據(jù)力的平衡條件有       m₁g=k x₁
而
解得：k=100N/m， x₁=0.10m
所以，彈簧不受作用力時(shí)的自然長度l₀=h₁+x₁=0.50m
（2）兩物體運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧彈力等于兩物體總重力時(shí)具有最大速度，此位置就是兩物體粘合后做簡諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置
設(shè)在平衡位置彈簧的壓縮量為x₂，則 （m₁+ m₂）g=kx₂，解得：x₂=0.20m，
設(shè)此時(shí)彈簧的長度為l₂，則   l₂=l₀-x₂    ,解得：l₂="0.30m" ,
當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí)，是兩物體振動(dòng)最大位移處，此時(shí)彈簧長度為h₂=6.55cm
兩物體做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅A=l₂-h₂ =23.45cm
（3）設(shè)物體B自由下落與物體A相碰時(shí)的速度為v₁，則   
解得：v₁=3.0m/s，
設(shè)A與B碰撞結(jié)束瞬間的速度為v₂，根據(jù)動(dòng)量守恒  m₂ v₁=（m₁+ m₂）v₂，
解得：v₂="1.5" m/s，
由簡諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，兩物體向上運(yùn)動(dòng)過程達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，速度為零，彈簧長度為l₂+A=53.45cm
碰后兩物體和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)兩物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的彈性勢能E_P，則      
解得E_P＝6.0×10^-2J。