Question

(25分)圖中正方形ABCD是水平放置的固定梁的橫截面，AB是水平的，截面的邊長都是l.一根長為2l的柔軟的輕細繩，一端固定在A點，另一端系一質量為m的小球，初始時，手持小球，將繩拉直，繞過B點使小球處于C點.現給小球一豎直向下的初速度v₀，使小球與CB邊無接觸地向下運動，當，分別取下列兩值時，小球將打到梁上的何處？

1.

2.

設繩的伸長量可不計而且繩是非彈性的.

Answer 1

解析：

小球獲得沿豎直向下的初速度v₀后，由于細繩處于松弛狀態(tài)，故從C點開始，小球沿豎直方向作初速度為v₀、加速度為g的勻加速直線運動.當小球運動到圖1中的M點時，繩剛被拉直，勻加速直線運動終止，此時繩與豎直方向的夾角為α=30°.在這過程中，小球下落的距離　　(1)

　　細繩剛拉直時小球的速度v₁滿足下式：

　　　　(2)

　　在細繩拉緊的瞬間，由于繩的伸長量可不計而且繩是非彈性的，故小球沿細繩方向的分速度v₁cosα變?yōu)榱悖�而與繩垂直的分速度保持不變，以后小球將從M點開始以初速度

　　　　(3)

　　在豎直平面內作圓周運動，圓周的半徑為2l，圓心位于A點，如圖1所示.由(1)、(2)、(3)式得

　　　　(4)

　　當小球沿圓周運動到圖中的N點時，其速度為v，細繩與水平方向的夾角為θ，由能量關系有　　(5)

　　用F_T表示繩對小球的拉力，有　　(6)

　　1.

設在θ=θ₁時(見圖2)，繩開始松弛，F_T=0，小球的速度v=u₁.以此代入(5)、(6)兩式得

　　　　(7)

　　　　(8)

　　由(4)、(7)、(8)式和題設v₀的數值可求得θ₁=45°　　(9)

　　　　(10)

　　即在θ₁=45°時，繩開始松弛.以N₁表示此時小球在圓周上的位置，此后，小球將脫離圓軌道從N₁處以大小為u₁，方向與水平方向成45°角的初速度作斜拋運動

　　以N₁點為坐標原點，建立直角坐標系N₁xy，x軸水平向右，y軸豎直向上.若以小球從N₁處拋出的時刻作為計時起點，小球在時刻t的坐標分別為

　　　　(11)

　　　　(12)

　　由(11)、(12)式，注意到(10)式，可得小球的軌道方程：

　　　　(13)

　　AD面的橫坐標為　　(14)

　　由(13)、(14)式可得小球通過AD所在豎直平面的縱坐標y=0　　(15)

　　由此可見小球將在D點上方越過，然后打到DC邊上，DC邊的縱坐標為

　　　　(16)

　　把(16)式代入(13)式，解得小球與DC邊撞擊點的橫坐標x=1.75l　　(17)

　　撞擊點與D點的距離為△l=x-2lcos45°=0.35l　　(18)

　　2.

　　設在θ=θ₂時，繩松弛，F_T=0，小球的速度v=u₂，以此代替(5)、(6)式中的θ₁、u₁，得

　　　　(19)

　　　　(20)

　　以代入(4)式，與(19)、(20)式聯立，可解得

　　θ₂=90°　　(21)

　　　　(22)

　　(22)式表示小球到達圓周的最高點處時，繩中張力為0，隨后繩子被拉緊，球速增大，繩中的拉力不斷增加，拉力和重力沿繩子的分力之和等于小球沿圓周運動所需的向心力，小球將繞以D點為圓心，l為半徑的圓周打到梁上的C點.

　　評分標準：(本題25分)

　　(3)式2分，(5)、(6)式各1分，(9)、(10)式各3分，得出小球不可能打在AD邊上，給3分.得出小球能打在DC邊上，給2分，正確求出小球打在DC邊上的位置給2分，求出(21)、(22)式各占3分，得出小球能打在C點，再給2分.

　　如果學生直接從拋物線方程和y=-(2lsin45°-l)=-(-1)l求出x=1.75l，同樣給分.不必證明不能撞擊在AD邊上.