Question

如圖所示，間距為L的兩條足夠長的平行金屬導軌與水平面的夾角為θ，導軌光滑且電阻忽略不計．場強為B的條形勻強磁場方向與導軌平面垂直，磁場區(qū)域的寬度為d₁，間距為d₂．兩根質量均為m、有效電阻均為R的導體棒a和b放在導軌上，并與導軌垂直． （設重力加速度為g） 
（1）若a進入第2個磁場區(qū)域時，b以與a同樣的速度進入第1個磁場區(qū)域，求b穿過第1個磁場區(qū)域過程中增加的動能△E_k．
（2）若a進入第2個磁場區(qū)域時，b恰好離開第1個磁場區(qū)域；此后a離開第2個磁場區(qū)域時，b 又恰好進入第2個磁場區(qū)域．且a．b在任意一個磁場區(qū)域或無磁場區(qū)域的運動時間均相．求b穿過第2個磁場區(qū)域過程中，兩導體棒產生的總焦耳熱Q．
（3）對于第（2）問所述的運動情況，求a穿出第k個磁場區(qū)域時的速率v．

Answer 1

分析：（1）a進入第2個磁場區(qū)域時，b以與a同樣的速度進入第1個磁場區(qū)域時，穿過回路的磁通量不變，沒有感應電流產生，兩棒均不受安培力，機械能守恒，可求出△E_k．
（2）兩棒分在磁場區(qū)域中和無磁場區(qū)域中運動兩個過程研究：在磁場區(qū)域中，導體棒的動能和重力勢能轉化為內能；在無磁場區(qū)域中機械能守恒，則可根據能量守恒和機械能守恒列式求出b穿過第2個磁場區(qū)域過程中，兩導體棒產生的總焦耳熱Q．
（3）本問有一定的難度，由于導體棒做加速度逐漸減小的減速運動，其加速度是變化的，因此不能用勻變速運動知識解答，可以通過微積分思想進行解答，如在極短的時間內安培力可以認為不變，利用牛頓第二定律列方程，然后根據數學知識求解．

解答：解：（1）a和b不受安培力作用，由機械能守恒知△E_k=mgd₁sinθ①
（2）設導體棒剛進入無磁場區(qū)域時的速度為v₁，剛離開無磁場區(qū)域時的速度為v₂，由能量守恒知
在磁場區(qū)域中，

1

2

m

v

2 1

+Q=

1

2

m

v

2 2

+mgd1sinθ ②
在無磁場區(qū)域中 

1

2

m

v

2 2

=

1

2

m

v

2 1

+mgd2sinθ  ③
解得 Q=mg（d₁+d₂）sinθ  ④
（3）在無磁場區(qū)域，根據勻變速直線運動規(guī)律有 v₂-v₁=gtsinθ⑤
且平均速度 

v1+v2

2

=

d2

t

 ⑥
有磁場區(qū)域，棒a受到合力 F=mgsinθ-BIl ⑦
感應電動勢 ε=Blv ⑧
感應電流   I=

ε

2R

 ⑨
解得 F=mgsinθ-

B2l2

2R

v ⑩
根據牛頓第二定律得，F=ma=m

△v

△t

在t到t+△t時間內
（mgsinθ-

B2l2v

2R

）△t=m△v
則有mgsinθ△t-

B2l2

2R

v△t=m△v
解得v₁-v₂=gtsinθ-

B2l2

2mR

d1
聯立⑤⑥解得 v1=

4mgRd2

B2l2d1

sinθ-

B2l2d1

8mR

由題意知v=v1=

4mgRd2

B2l2d1

sinθ-

B2l2d1

8mR

答：（1）b穿過第1個磁場區(qū)域過程中增加的動能△E_k為mgd₁sinθ．
（2）b穿過第2個磁場區(qū)域過程中，兩導體棒產生的總焦耳熱Q為mg（d₁+d₂）sinθ．
（3）a穿出第k個磁場區(qū)域時的速率v為

4mgRd2

B2l2d1

sinθ-

B2l2d1

8mR

．

點評：注意克服安培力做功為整個回路中產生的熱量；本題的難點在于第（3）問，方法巧妙，在平時練習中一定注意數學知識在物理中的應用．