Question

【題目】如圖甲所示，粗糙水平面與豎直的光滑半圓環(huán)在N點(diǎn)相切，M為圈環(huán)的最高點(diǎn)，圓環(huán)半徑為R=0.1m，現(xiàn)有一質(zhì)量m=1kg的物體以v0=4m/s的初速度從水平面的某點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)并沖上豎直光滑半圓環(huán)，取g=10m/s2，求：

（1）物體能從M點(diǎn)飛出，落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離的最小值Xm

（2）設(shè)出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)的距離為S，物體從M點(diǎn)飛出后，落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離為X，作出X2隨S變化的關(guān)系如圖乙所示，求物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ

（3）要使物體從某點(diǎn)出發(fā)后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)在N到M點(diǎn)的中間離開半固軌道，求出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)的距離S應(yīng)滿足的條件

Answer 1

【答案】（1）0.2m；（2）0.2；（3）0≤x≤2.75m或3.5m≤x＜4m．

【解析】

（1）由牛頓第二定律求得在M點(diǎn)的速度范圍，然后由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得水平位移，即可得到最小值；

（2）根據(jù)動(dòng)能定理得到M點(diǎn)速度和x的關(guān)系，然后由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到y和M點(diǎn)速度的關(guān)系，即可得到y和x的關(guān)系，結(jié)合圖象求解；

（3）根據(jù)物體不脫離軌道得到運(yùn)動(dòng)過(guò)程，然后由動(dòng)能定理求解．

（1）物體能從M點(diǎn)飛出，那么對(duì)物體在M點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：mg≤，所以，vM≥＝1m/s；
物體能從M點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，故有：2R＝gt2，落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離x＝vMt≥＝2R＝0.2m；
故落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離的最小值為0.2m；
（2）物體從出發(fā)點(diǎn)到M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程作用摩擦力、重力做功，故由動(dòng)能定理可得：μmgx2mgR＝mvM2mv02；
物體從M點(diǎn)落回水平面做平拋運(yùn)動(dòng)，故有：2R＝gt2，；
由圖可得：y2=0.48-0.16x，所以，μ＝＝0.2；
（3）要使物體從某點(diǎn)出發(fā)后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)在N到M點(diǎn)的中間離開半圓軌道，那么物體能到達(dá)的最大高度0＜h≤R或物體能通過(guò)M點(diǎn)；
物體能到達(dá)的最大高度0＜h≤R時(shí)，由動(dòng)能定理可得：μmgxmgh＝0mv02，

所以，，

所以，3.5m≤x＜4m；
物體能通過(guò)M點(diǎn)時(shí)，由（1）可知vM≥＝1m/s，

由動(dòng)能定理可得：μmgx2mgR＝mvM2mv02；
所以，

所以，0≤x≤2.75m；