Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)垂直紙面向里的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界過原點(diǎn)O和y軸上的點(diǎn)a（0，L）．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從a點(diǎn)以初速度v₀平行于x軸正方向射入磁場(chǎng)，并從x軸上的b點(diǎn)射出磁場(chǎng)，此時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為60°．不計(jì)電子重力．求：
（1）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑R及時(shí)間t；
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的圓心坐標(biāo)；
（3）若在電子到達(dá)b點(diǎn)時(shí)撤掉磁場(chǎng)的同時(shí)在第四象限加入一大小E=

4m v 2 0

eL

，方向與x軸正方向成30⁰的勻強(qiáng)電場(chǎng)，如圖所示，則電子離開電場(chǎng)通過y軸的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，正好做類平拋運(yùn)動(dòng)．所以由幾何關(guān)系可確定運(yùn)動(dòng)圓弧的半徑與已知長度的關(guān)系，從而確定圓磁場(chǎng)的圓心，并能算出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．當(dāng)做類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，可將運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分解的處理，從而能算出粒子離開電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）電子的軌跡半徑為R，由幾何知識(shí)，Rsin30°=R-L，得R=2L．（1）
電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間   t=

T

6

 （2）
而        T=

2πR

v0

    （3）
得   t=

2πL

3v0

   （4）
（2）設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域的圓心坐標(biāo)為（x，y）
其中 x=

1

2

Rcos30°=

3

2

L   （5）
   y=

L

2

          （6）
所以磁場(chǎng)圓心坐標(biāo)為  （

3

2

L，

L

2

）  （7）
（3）電子進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)從y軸上的c點(diǎn)射出，如圖所示．

    R+O′Csin30°=

1

2

at2  （8）
其中        a=

eE

m

     （9）
    R+O′Ccos30°=v₀t   （10）
由（1）（8）（9）（10）聯(lián)立得    O′C=

4

3

L
而    OC=O′C+OO′=L+

4

3

L=

7

3

L    
故坐標(biāo)為（0，

7

3

L）

點(diǎn)評(píng)：通過題意剛好得出帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，這是本題的突破點(diǎn)．當(dāng)?shù)贸鲞@一條件時(shí)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡可以確定，從而求出圓磁場(chǎng)的圓心位置，再運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律來運(yùn)動(dòng)分解處理．