Question

【題目】如圖所示，在xoy平面內(nèi)，有一以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、R為半徑的圓形區(qū)圓周與坐標(biāo)軸分別交于a、b、c、d點(diǎn)。x軸下方圓弧bd與b′d′是兩個(gè)半圓形同心圓弧，bd和b′d′之間的區(qū)域內(nèi)分布著輻射狀的電場(chǎng)，電場(chǎng)方向指向原點(diǎn)O，其間的電勢(shì)差為U；x軸上方圓周外區(qū)域，存在著上邊界為y=2R的垂直紙面向里的足夠大勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓周內(nèi)無磁場(chǎng)。圓弧b′d′上均勻分布著質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們被輻射狀的電場(chǎng)由靜止加速后通過坐標(biāo)原點(diǎn)O，并進(jìn)入磁場(chǎng)。不計(jì)粒子的重力以及粒子之間的相互作用，不考慮粒子從磁場(chǎng)返回圓形區(qū)域邊界后的運(yùn)動(dòng)。

(1)粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多大?

(2)若從a點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子不能從磁場(chǎng)上邊界射出磁場(chǎng)，則磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足什么條件?

(3要使粒子能夠垂直于磁場(chǎng)上邊界射出磁場(chǎng)，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值B0；并求出此時(shí)從磁場(chǎng)上邊界垂直射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

(4)當(dāng)磁場(chǎng)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為第(3)問中B0的倍時(shí)，求能從磁場(chǎng)上邊界射出粒子的邊界寬度。

Answer 1

【答案】(1) ；

(2) ；

(3)，；

(4).

【解析】

⑴設(shè)粒子被電場(chǎng)加速后速度為v，由動(dòng)能定理得：

①

粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后在圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：②

得：③

⑵粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌道半徑為r0。從a點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子不能從磁場(chǎng)上邊界射出磁場(chǎng)應(yīng)滿足：④

由⑤

得：⑥

⑶垂直磁場(chǎng)上邊界射出的粒子的圓心O必在磁場(chǎng)上邊界上，設(shè)該粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，滿足磁感應(yīng)強(qiáng)度有最大值，即r有最小值。又因?yàn)?/span>

⑦

當(dāng)r有最小值時(shí)，OO取最小值，OO最小值為O點(diǎn)到磁場(chǎng)上邊界的距離2R

故：⑧

由以上各式可得：⑨

設(shè)此時(shí)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角為θ

則故

由于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期：

⑩

此時(shí)垂直于磁場(chǎng)上邊界射出磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

⑷當(dāng)B=時(shí)，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑

由幾何知識(shí)可知，當(dāng)粒子從d點(diǎn)沿x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子從磁場(chǎng)上邊界射出點(diǎn)，為粒子能夠到達(dá)的上邊界的最右端。設(shè)粒子能夠到達(dá)的上邊界的最右端距y軸的距離為x1

得：

當(dāng)粒子與磁場(chǎng)上邊界相切時(shí)，切點(diǎn)為粒子能夠到達(dá)的上邊界的最左端。設(shè)粒子能夠到達(dá)的上邊界的最左端距y軸的距離為x2

得：

粒子能從磁場(chǎng)上邊界射出粒子的邊界寬度：