Question

如圖所示為圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里，邊界跟y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O． O點(diǎn)處有一放射源，沿紙面向各方向射出速率均為v的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑的兩倍．已知該帶電粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，不考慮帶電粒子的重力．
（1）推導(dǎo)帶電粒子在磁場(chǎng)空間做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）求帶電粒子通過(guò)磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角；
（3）沿磁場(chǎng)邊界放置絕緣彈性擋板，使粒子與擋板碰撞后以原速率彈回，且其電荷量保持不變．若從O點(diǎn)沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子速度已減小為

v

2

，求該粒子第一次回到O點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在洛倫茲力作用下，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由Bqυ=m

υ2

r

可得出半徑公式．
（2）粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)角最大，即為在磁場(chǎng)中的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，也就是射入點(diǎn)到射出點(diǎn)的距離最大，由題意可知，最大為磁場(chǎng)的直徑，由幾何知識(shí)可求出最大偏轉(zhuǎn)角．
（2）從O點(diǎn)沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子速度已減小為

v

2

，半徑也變?yōu)樵瓉?lái)的一半，即與磁場(chǎng)的半徑相同，從而可知每偏轉(zhuǎn)90°就碰撞一次，經(jīng)過(guò)4個(gè)

1

4

周期回到O點(diǎn)．

解答：解：
（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，受洛倫茲力作用，由牛頓第二定律得：
Bqυ=m

υ2

r

r=

mυ

Bq

（2）設(shè)粒子飛出和進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向夾角為?，則sin

φ

2

=

x

2r

，x是粒子在磁場(chǎng)中軌跡的兩端點(diǎn)的直線距離．
x最大值為2R，對(duì)應(yīng)的就是φ最大值．且2R=r
所以sin

φmax

2

=

R

r

=

1

2

，φmax=60°．
（3）當(dāng)粒子的速度減小為

v

2

時(shí)，在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r1=

mv

2qB

=R
故粒子轉(zhuǎn)過(guò)四分之一圓周，對(duì)應(yīng)圓心角為90°時(shí)與邊界相撞彈回，由對(duì)稱性知粒子經(jīng)過(guò)四個(gè)這樣的過(guò)程后第一次回到O點(diǎn)，亦即經(jīng)歷時(shí)間為一個(gè)周期．
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πm

Bq

．
所以從O點(diǎn)沿x軸正方向射出的粒子第一次回到O點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間是：t=

2πm

Bq

．
答：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)空間做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

mυ

Bq

；
（2）帶電粒子通過(guò)磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角為60°；
（3）沿磁場(chǎng)邊界放置絕緣彈性擋板，使粒子與擋板碰撞后以原速率彈回，且其電荷量保持不變．若從O點(diǎn)沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子速度已減小為

v

2

，該粒子第一次回到O點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為

2πm

Bq

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查到了帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的推導(dǎo)，洛倫茲力提供向心力；帶電粒子在圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角，與在磁場(chǎng)中的弧長(zhǎng)是成正比的，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)也就越長(zhǎng)，要會(huì)熟練的利用幾何關(guān)系求解圓心角；對(duì)于由于有限制條件使得粒子多次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情況，要徹底分析粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分析其運(yùn)動(dòng)規(guī)律．