Question

如圖所示，水平放置的平行金屬板M、N間距離為d，板長為l，在M、N間加上電壓，M板的電勢高于N板電勢，質(zhì)量為m 帶電量為q的帶正電粒子，以初速度v₀平行金屬板從兩板正中間進(jìn)入平行板間，帶點(diǎn)粒子離開平行金屬板后進(jìn)入金屬板右側(cè)有直角三角形邊界的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，已知磁場區(qū)域AB邊長為a，BC邊水平，∠B=60°，∠C=90°，磁場方向垂直紙面向里，設(shè)帶電粒子恰好從AB邊的中點(diǎn)D以垂直AB邊的速度方向進(jìn)入磁場區(qū)域，不計(jì)帶電粒子的重力，求：
（1）M、N兩板間所加的電壓U
（2）若帶電粒子垂直于AC邊離開磁場，求帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間
（3）若保證帶電粒子從AB邊離開磁場，則磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足什么條件．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，由題意分析可知，粒子離開電場時(shí)速度偏轉(zhuǎn)的角度為30°，即可得到離開電場時(shí)粒子大豎直與水平兩個(gè)方向分速度的關(guān)系，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出U；
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場后由洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動，畫出軌跡，由幾何關(guān)系求得粒子在磁場中運(yùn)動軌道半徑R，根據(jù)軌跡的圓心角求出時(shí)間；
（3）粒子的最大軌道半徑與AC邊相切，由幾何知識求出最大半徑，由牛頓第二定律求得最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答：解：（1）由題意可知，粒子離開電場時(shí)速度偏轉(zhuǎn)的角度為30°，則離開偏轉(zhuǎn)電場時(shí)粒子豎直方向的速度v_y=v₀tan30°=

3

3

v₀
粒子在MN間的加速度a=

qU

md

，
v_y=at，
其中時(shí)間  t=

l

v0

，
聯(lián)立解得U=

3 m v 2 0 d

3ql

（2）粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度v=

v0

cos30°

=

2v0

3

由幾何關(guān)系可知粒子在磁場中運(yùn)動軌道半徑R=

a

2

，
軌跡所對應(yīng)的圓心角為30°，則粒子在磁場中運(yùn)動t=

1

12

T=

1

12

×

2πR

v

=

3 πa

24v0

（3）粒子的最大軌道半徑與AC邊相切，由幾何關(guān)系得
   

a

2

=R_m+

Rm

sin30°

，
解得R_m=

a

6

由洛倫茲力提供向心力，則qvB=m

v2

Rm

得B=

12mv0

3qa

保證帶電粒子從AB邊離開磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B≥

12mv0

3qa

答：
（1）M、N兩板間所加的電壓U為

3 m v 2 0 d

3ql

．
（2）若帶電粒子垂直于AC邊離開磁場，帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間為

3 πa

24v0

．
（3）若保證帶電粒子從AB邊離開磁場，則磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足的條件是B≥

12mv0

3qa

．

點(diǎn)評：做好此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的畫出粒子運(yùn)動的軌跡圖，利用幾何知識求出粒子運(yùn)動的半徑，再結(jié)合半徑公式和周期公式去分析，難度較大