Question

如圖所示，質量為m的小球P自距離A點4R高處下落，然后沿A點切線方向進入豎直平面內(nèi)的光滑軌道ABC．AB是半徑為R的

1

4

圓弧軌道，BC是直徑為R的半圓弧軌道，B是軌道最低點，在B點有另一個質量也為m的靜止的小球Q．小球P和小球Q碰撞后粘在一起變成整體S，整體S繼續(xù)沿半圓軌道向上運動到C點時對軌道的壓力恰好為零，求：
（1）小球P和小球Q碰撞時損失的機械能；
（2）整體S離開C點后至撞上圓弧軌道的過程中豎直下落的高度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機械能守恒定律求出小球P撞擊小球Q前的速度大小，根據(jù)動量守恒定律求出兩球的共同速度，從而根據(jù)能量守恒求出碰撞過程中機械能的損失量．
（2）結合整體在C點對軌道的壓力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出在C點的速度，離開C點做平拋運動，結合平拋運動的規(guī)律和幾何關系求出豎直下落的高度．

解答：解：（1）根據(jù)機械能守恒定律，有：mg(4R+R)=

1

2

m

v

2 0

解得：小球P撞擊小球Q前的速度為：v0=

10gR

由動量守恒定律有：mv₀=2mv
解得：兩球的共同速度為：v=

1

2

10gR

所以碰撞中的機械能損失為：△E=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

×2mv2=2.5mgR
（2）因為整體S在C點對軌道的壓力恰為零，所以有：2mg=

2m v 2 C

R 2

vC=

gR 2

兩球離開C點做平拋運動：x=v₀t，y=

1

2

gt2
AB軌道位于以C點為圓心的圓周上：x²+y²=R²
解得：y=

5 -1

2

R=0.618R
答：（1）小球P和小球Q碰撞時損失的機械能2.5mgR．
（2）整體S離開C點后至撞上圓弧軌道的過程中豎直下落的高度為0.618R．

點評：本題考查了動量守恒、能量守恒定律、牛頓第二定律的綜合，涉及到平拋運動和圓周運動，綜合性較強，是一道好題．