Question

如圖所示，一個(gè)光滑、絕緣水平高臺(tái)的右面空間中存在范圍足夠大且水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，高臺(tái)邊緣靜置一個(gè)帶電量為+q、質(zhì)量為m的小球B，另有一個(gè)絕緣不帶電的小球A（大小與小球B相同，質(zhì)量大于m）以初速度v₀向B運(yùn)動(dòng)，A與B發(fā)生彈性碰撞后水平進(jìn)入電場(chǎng)，發(fā)生再次碰撞后落到水平地面．已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為E=

2mg

q

，重力加速度為g．（小球A、B碰撞過程中電荷不發(fā)生轉(zhuǎn)移）
（1）如果小球A的質(zhì)量為3m，求：
①小球A、B發(fā)生彈性碰撞（首次碰撞）后各自的速度；
②小球A、B再次碰撞前運(yùn)動(dòng)過程中相距的最大距離；
③B小球在電場(chǎng)中與A小球再次碰撞前具有的動(dòng)能；
（2）如果保持B的質(zhì)量不變，改變A的質(zhì)量，其它條件不變，A、B小球再次碰撞前運(yùn)動(dòng)過程中相距的最大距離及再次碰撞發(fā)生的高度是否發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）①小球A、B發(fā)生彈性碰撞的過程中動(dòng)量守恒、動(dòng)能守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出碰后各自的速度大�。�
②A球不帶電，所以出平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向做自由落體，水平為勻速運(yùn)動(dòng)； B球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，在水平方向做類豎直上拋運(yùn)動(dòng)（假定向右為上），所以兩球在豎直方向運(yùn)動(dòng)情況相同，始終保持在同一高度．當(dāng)兩球水平速度相等時(shí)，相距最遠(yuǎn)；也可以求出在時(shí)間t內(nèi)兩球在水平方向上的位移，根據(jù)二次函數(shù)求極值的方法求出最大距離．
③兩球再次相碰時(shí)，在水平方向上的位移相等．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出相遇的時(shí)間，從而求出豎直方向上位移，根據(jù)動(dòng)能定理求出B的動(dòng)能．
（2）如果保持B的質(zhì)量不變，改變A的質(zhì)量，其它條件不變，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出碰后兩球的速度之差，看是否與小球的質(zhì)量有關(guān)，從而根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式判斷再次碰撞前運(yùn)動(dòng)過程中相距的最大距離及再次碰撞發(fā)生的高度是否發(fā)生變化．

解答：解：（1）①A與B發(fā)生彈性碰撞   3mv₀=3mv₁+mv₂…①

1

2

×3m

v

2 0

=

1

2

×3m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

…②
聯(lián)立①②解得 v2=

3

2

v0，v1=

1

2

v0
②A球不帶電，所以出平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向做自由落體，水平為勻速運(yùn)動(dòng)； B球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，在水平方向做類豎直上拋運(yùn)動(dòng)（假定向右為上），所以兩球在豎直方向運(yùn)動(dòng)情況相同，始終保持在同一高度．x_A=v₁t…③
xB=v2t-

1

2

axt2…④
B球在水平方向上的加速度為 aBx=

Eq

m

=

2mg q q

m

=2g…⑤
所以：在飛行過程中A與B的距離為△x=xB-xA=(v2-v1)t -gt 2=v0t -g

t

2

△x=-(

g

t -

v0

2 g

)2+

v 2 0

4g

所以當(dāng)t1=

v0

2g

時(shí)，△x有最大值為

v 2 0

4g

③再次發(fā)生碰撞時(shí)有x_A=x_B…⑥
聯(lián)立③④⑤⑥解得發(fā)生再次碰撞的時(shí)間t2=

v0

g

，xA=

v 2 0

2g

再次碰撞點(diǎn)離平臺(tái)的高度h=

1

2

gt22=

v 2 0

2g

…⑦
由動(dòng)能定理mgh-EqxA=EB-

1

2

m

v

2 2

…⑧
解得EB=

5

8

m

v

2 0

（2）如果保持B的質(zhì)量不變，改變A的質(zhì)量，
A與B發(fā)生彈性碰撞m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂…⑨

1

2

m1

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

…⑩
聯(lián)立⑨⑩解得v₂-v₁=v₀（與A、B小球質(zhì)量無關(guān)）  
所以在飛行過程中A與B的距離為△x=v0t/1-g

t/

2 1

仍有當(dāng)t/1=

v0

2g

時(shí)，△x有最大值為

v 2 0

4g

，A、B小球再次碰撞前運(yùn)動(dòng)過程中相距的最大距離不發(fā)生改變．
同理發(fā)生再次碰撞的時(shí)間始終為t2/=

v0

g

，所以再次碰撞點(diǎn)離平臺(tái)的高度為h=

1

2

gt22=

v 2 0

2g

，不發(fā)生改變，即再次碰撞發(fā)生一個(gè)固定高度．
答：（1）小球A、B發(fā)生彈性碰撞（首次碰撞）后各自的速度為

1

2

v0、

3

2

v0．
小球A、B再次碰撞前運(yùn)動(dòng)過程中相距的最大距離為

v 2 0

4g

．
B小球在電場(chǎng)中與A小球再次碰撞前具有的動(dòng)能EB=

5

8

m

v

2 0

．
（2）A、B小球再次碰撞前運(yùn)動(dòng)過程中相距的最大距離及再次碰撞發(fā)生的高度不改變．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是道難題．