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【題目】如圖甲所示,一長為l=1m的輕繩,一端穿在過O點的水平轉軸上,另一端固定一質量為m的小球,整個裝置繞O點在豎直面內轉動.給系統輸入能量,使小球通過最高點的速度不斷加快,通過傳感器測得小球通過最高點時,繩對小球的拉力F與小球在最高點動能Ek的關系如圖乙所示,重力加速度為g,不考慮摩擦和空氣阻力,請分析并回答以下問題:

(1)若要小球能做完整的圓周運動,對小球過最高點的速度有何要求?(用題中給出的字母表示).
(2)請根據題目及圖象中的條件求出小球質量m的值.(g取10m/s2
(3)求小球從圖中a點所示狀態(tài)到圖中b點所示狀態(tài)的過程中,外界對此系統做的功.
(4)當小球達到圖乙中b點所示狀態(tài)時,立刻停止能量輸入.之后的運動過程中,在繩中拉力達到最大值的位置,輕繩繃斷,求繃斷瞬間繩中拉力的大小.

【答案】
(1)解:小球剛好通過最高點做完整圓運動要求在最高點受力滿足:mg=m ,

因此小球過最高點的速度要滿足:v≥

答:若要小球能做完整的圓周運動,對小球過最高點的速度滿足:v≥ ;


(2)解:小球在最高點時有:mg+F=m 又因為:EK= mv2

所以繩對小球的拉力F與小球在最高點動能Ek的關系式為:F= ﹣mg,

由圖象知,當EK=1.0J時,F=0,代入上式得到:mgl=2.0J;又已知l=1m,則小球的質量m=0.2kg.

答:小球質量為0.2kg;擺線長度為1m;


(3)解:由F= ﹣mg知:圖線的斜率值為: =2N/J,因此對應狀態(tài)b,Fb=4.0N,可求出小球在最高點的動能: = ,于是得到:EKb=3.0J

對小球從狀態(tài)a到狀態(tài)b的過程,有:W=EKb﹣EK=3.0﹣1.0=2.0J,

即:外界對系統做的功為2.0J.

答:外界對此系統做的功為2.0J;


(4)解:在停止能量輸入之后,小球在重力和輕繩拉力作用下在豎直面內做圓周運動,運動過程中機械能守恒.當小球運動到最低點時,繩中拉力達到最大值.

設小球在最低點的速度為v,對從b狀態(tài)開始至達到最低點的過程應用機械能守恒定律,有:mg2l= mv2﹣EKb;

設在最低點繩中拉力為Fm,由牛頓第二定律有:Fm﹣mg=m ,

兩式聯立解得:Fm=16N,

即:繃斷瞬間繩中拉力的大小為16N.

答:繃斷瞬間繩中拉力的大小為16N.


【解析】(1)在最高點,由牛頓第二定律可求小球能做完整的圓周運動滿足的條件;(2)在最高點,由牛頓第二定律并結合圖象信息可求小球質量和擺線長度;(3)由圖象得斜率,根據動能定理求外界對系統做的功;(4)應用機械能守恒定律和牛頓第二定律求繃斷瞬間繩中拉力的大。

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