Question

【題目】一長(zhǎng)木板在水平地面上運(yùn)動(dòng)，從木板經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，在t=1.0s時(shí)將一相對(duì)于地面靜止的小物塊輕放到木板上，此后木板運(yùn)動(dòng)的v﹣t圖線如圖所示．己知木板質(zhì)量為物塊質(zhì)量的2倍，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦，物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且物塊始終在木板上，取重力加速度的大小g=10m/s2，求：

（1）物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1及木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2；

（2）木板離A點(diǎn)的最終距離；

（3）木板的最小長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）0.20 0.40 （2）7.975m （3）1.125m

【解析】（1）從開始，木板與物塊之間的摩擦力使物塊加速，使木板減速，此過(guò)程一直持續(xù)到物塊和木板具有共同速度為止。
由圖可知，在時(shí)，物塊和木板具有共同速度，設(shè)到時(shí)間間隔內(nèi)，物塊和木板的加速度大小分別為和，則有：

… ①
… ②
式中，為木板在時(shí)速度的大小。
設(shè)物塊和木板的質(zhì)量分別為m、2m，由牛頓第二定律得：
…③

…④
聯(lián)立①②③④式得： ，
（2）設(shè)到時(shí)間間隔內(nèi)，木板的加速度為，由牛頓第二定律得： …⑤
得：
逆過(guò)來(lái)看，將木板勻減速過(guò)程看作反向勻加速過(guò)程，則到時(shí)間間隔內(nèi)木板的位移為： … ⑥
代入數(shù)據(jù)解得：
到時(shí)間間隔內(nèi)，木板相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)距離為： … ⑦
代入數(shù)據(jù)解得：
在時(shí)刻后，地面對(duì)木板的摩擦力阻礙木板運(yùn)動(dòng)，物塊與木板之間的摩擦力改變方向。設(shè)物塊與木板之間的摩擦力大小為，物塊和木板的加速度大小分別為和，則由牛頓第二定律得： …⑧

…⑨
假設(shè)，則；
由⑧⑨式得，與假設(shè)矛盾，故有： …⑩
由⑨⑩式得： ，
在時(shí)刻后，木板相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)距離為：
代入數(shù)據(jù)解得：
綜上，木板離A點(diǎn)的最終距離
解得：
（3）由（2）分析，物塊的圖象如圖中點(diǎn)劃線所示。由圖可知， 到時(shí)間間隔內(nèi)，物塊相對(duì)于木板的位移逐漸增大，而時(shí)刻后，物塊相對(duì)于木板的位移又逐漸減小。到時(shí)間間隔內(nèi)，物塊相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)距離為

代入數(shù)據(jù)解得
木板的最小長(zhǎng)度應(yīng)等于物塊相對(duì)于木板的最大位移的大小，為：
解得。