Question

 (2012年四月天津武清區(qū)一模)2010年上海世博會(huì)某國(guó)家館內(nèi)，有一“發(fā)電”地板，利用游人走過(guò)此處，踩踏地板發(fā)電。其原因是地板下有一發(fā)電裝置，如圖l所示，裝置的主要結(jié)構(gòu)是一個(gè)截面半徑為r、匝數(shù)為n的線圈，緊固在與地板相連的塑料圓筒P上。磁場(chǎng)的磁感線沿半徑方向均勻分布，圖2為橫截面俯視圖。輕質(zhì)地板四角各連接有一個(gè)勁度系數(shù)為k的復(fù)位彈簧(圖中只畫(huà)出其中的兩個(gè))。當(dāng)?shù)匕迳舷峦�返運(yùn)動(dòng)時(shí)，便能發(fā)電。若線圈所在位置磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，線圈的總電阻為R₀，現(xiàn)用它向一個(gè)電阻為R的小燈泡供電。為了便于研究，將某人走過(guò)時(shí)地板發(fā)生的位移一時(shí)間變化的規(guī)律簡(jiǎn)化為圖3所示。(取地板初始位置x=0，豎直向下為位移的正方向，且彈簧始終處在彈性限度內(nèi)。)

（1）取圖2中逆時(shí)針?lè)较螂娏鳛檎�方向，�?qǐng)?jiān)趫D4所示坐標(biāo)系中畫(huà)出線圈中感應(yīng)電流i隨時(shí)間t變化的圖線，并標(biāo)明相應(yīng)縱坐標(biāo)。要求寫(xiě)出相關(guān)的計(jì)算和判斷過(guò)程。

（2）t= t₀/2時(shí)地板受到的壓力。

（3）求人踩踏一次地板所做的功。

Answer 1

解：（1）0~t₀時(shí)間，地板向下做勻速運(yùn)動(dòng)，其速度v=x₀/t₀，線圈切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e=nB·2πrv=2nBπrx₀/t₀，感應(yīng)電流i= e/R=2nBπrx₀/Rt₀；0~t₀時(shí)間，地板向下做勻速運(yùn)動(dòng)，其速度v=x₀/t₀，線圈切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e=-nB·2πrv=-2nBπrx₀/t₀，感應(yīng)電流i= e/R=-2nBπrx₀/Rt₀；

（2）t= t₀/2時(shí)，地板向下位移x₀/2，彈簧彈力kx₀/2，安培力為nBi2πr=2nBiπr，

由平衡條件可知，地板受到的壓力F= kx₀/2+2nBiπr。

（3）由功能關(guān)系可得人踩踏一次地板所做的功W=2i²R t₀=4n²B²π²r²x₀²/Rt₀。