Question

【題目】如圖所示，一塊足夠長(zhǎng)的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右并非放有序號(hào)是1，2，3，…，n的物體，所有物塊的質(zhì)量均為m，與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)都相同，開始時(shí)，木板靜止不動(dòng)，第1，2，3，…，n號(hào)物塊的初速度分別為是v0，2v0，3v0，…，nv0，方向都向右，木板的質(zhì)量與所有物塊的總質(zhì)量相等，最終所有物塊與木板以共同速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)物塊之間均無(wú)相互碰撞，木板足夠長(zhǎng).試求：

（1）所有物塊與木板一起勻速運(yùn)動(dòng)的速度vn；

（2）第1號(hào)物塊與木板剛好相對(duì)靜止時(shí)的速度v1；

（3）通過分析與計(jì)算說明第k（k＜n）號(hào)物塊的最小速度vk

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】在木板上各個(gè)物塊相對(duì)木板運(yùn)動(dòng)，都給木板一個(gè)向右的摩擦力，因各個(gè)物塊質(zhì)量相同，滑動(dòng)摩擦力都一樣，木板在摩擦力的作用下向右加速.由于每個(gè)物塊的初始速度不同，因而相對(duì)木板靜止的物塊順序依次是1，2，…，n號(hào)，當(dāng)?shù)谝惶?hào)物塊由到相對(duì)木板靜止時(shí)，其動(dòng)量變化設(shè)為，則其他各個(gè)所有物塊在這段時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量變化也都為（f相同，T相同），因木板與所有物塊總動(dòng)量守恒，故可用動(dòng)量守恒關(guān)系求出第1號(hào)物塊相對(duì)木板靜止時(shí)的速度.

（1）設(shè)所有物塊都相對(duì)木塊靜止時(shí)的速度為vn，因木板與所有物塊系統(tǒng)水平方向不受外力，動(dòng)量守恒，應(yīng)用：

,又

解得：

（2）設(shè)第1號(hào)物塊相對(duì)木板靜止時(shí)的速度為v1，取木板與物塊1為系統(tǒng)一部分，第2號(hào)物塊到第n號(hào)物塊為系統(tǒng)另一部分，則

木板和物塊1有

2至n號(hào)物塊有

由動(dòng)量守恒定律：

解得：

（3）設(shè)第k號(hào)物塊相對(duì)木板靜止時(shí)的速度由vk，則第k號(hào)物塊速度由kv0減為vk的過程中，序數(shù)在第k號(hào)物塊后面的所有物塊動(dòng)量都減小m(kv0-vk),取木板與序號(hào)為1至k號(hào)以前的各物塊為一部分，則

序號(hào)在第k以后的所有物塊動(dòng)量減少的總量為：

由動(dòng)量守恒得

即。