Question

如圖所示，質量為m的跨接桿可以無摩擦地沿水平的導軌滑行，兩軌間寬為L，導軌與電阻R連接，放在豎直向下的勻強磁場中，磁感強度為B．桿從x軸原點O以大小為vo、水平向右的初速度滑行，直到靜止．已知桿在整個運動過程中速度v和位移x的函數(shù)關系是 v=v₀-B²L²x/mR．桿及導軌的電阻均不計．
（1）試求桿所受的安培力F隨其位移x變化的函數(shù)式；
（2）求出桿開始運動和停止運動時分別所受的安培力F₁和F₂；
（3）證明桿在整個運動過程中動能的增量△E_K等于安培力所做的功；
（4）求出電阻R上增加的內能△U．

Answer 1

分析：（1）桿向右滑行時切割磁感線，產生感應電動勢，由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL結合推導安培力的表達式．
（2）剛開始運動時，x=0；停止運動時，v=0，代入第1題的結論，即可求解．
（3）根據(jù)題干中v與x的函數(shù)關系式，分析安培力F與x的關系，若是線性關系，安培力的平均值等于開始時與末了時安培力的算術平均值，即可求出安培力做功，分析與動能增量的關系．
（4）根據(jù)能量轉化與守恒定律可知，電阻R上增加的內能△U等于棒克服安培力做功．

解答：解：（1）由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL得
安培力F=

B2L2v

R

  ①
將v和位移x的函數(shù)關系式v=v₀-

B2L2x

mR

代入上式得
  F=

B2L2

R

（v₀-

B2L2x

mR

） ②
（2）開始運動時x=0，則得安培力為F₀=

B2L2

R

v₀．
停止運動時，v=0，安培力F_t=0
（3）由v=v₀-

B2L2x

mR

得，當v=0時，棒運動的位移為x=

mRv0

B2L2

  ③
由②知F與x成線性關系，安培力的平均值為F_平均=

F0+Ft

2

=

B2L2v0

2R

 ④
則安培力做功為
  W=-F_平均x ⑤
將④③式代入⑤W=-

1

2

m

v

2 0

而桿在整個過程中動能的增量△E_K=0-

1

2

m

v

2 0

=-

1

2

m

v

2 0

故桿在整個運動過程中動能的增量△E_K等于安培力所做的功；
（4）根據(jù)能量轉化與守恒定律可知，電阻R上增加的內能△U等于棒克服安培力做功，則電阻R上增加的內能△U=

1

2

m

v

2 0

．
答：（1）桿所受的安培力F隨其位移x變化的函數(shù)式是F=

B2L2

R

（v₀-

B2L2x

mR

）；
（2）桿開始運動安培力為

B2L2

R

v₀．停止運動時安培力為0；
（3）桿在整個運動過程中動能的增量△E_K等于安培力所做的功，證明見上；
（4）電阻R上增加的內能△U為

1

2

m

v

2 0

．

點評：本題的解題關鍵是由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL推導安培力的表達式，分析F與x的關系，得到安培力做功．