Question

如圖所示，在xOy坐標(biāo)的第一象限內(nèi)分布有垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=2.5×10^-2T．在第二象限緊貼y軸和x軸放置一對(duì)平行金屬板MN（中心軸線垂直y軸），極板間距d=0.4m，極板與左側(cè)電路相連接，通過移動(dòng)滑動(dòng)頭P可以改變極板MN間的電壓．a(chǎn)、b為滑動(dòng)變阻器的最下端和最上端（滑動(dòng)變阻器的阻值分布均勻），a、b兩端所加電壓U=

3

3

×102V．在MN中心軸線上距y軸距離為L=0.4m處，有一粒子源S沿x軸正方向連續(xù)射出比荷為

q

m

=4.0×106C/kg、速度為v0=2.0×104m/s的帶正電的粒子，粒子經(jīng)過y軸進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)過磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從x軸射出磁場(chǎng)．（忽略粒子的重力和粒子之間的相互作用）
（1）當(dāng)滑動(dòng)頭P在a端時(shí)，求粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R₀；
（2）滑動(dòng)頭P的位置不同則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也不同，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)滑動(dòng)頭P在a端時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₀，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（2）當(dāng)粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角越大則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就越長，當(dāng)滑動(dòng)頭P滑到b端時(shí)，偏轉(zhuǎn)電壓最大，分析粒子是否打到極板上，若未達(dá)到極板上，偏轉(zhuǎn)角最大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，根據(jù)偏轉(zhuǎn)角的大小，結(jié)合周期公式求出最長的時(shí)間．

解答：解：（1）當(dāng)滑動(dòng)頭P在a端時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₀，設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₀，有：
qv0B=m

v02

R0

代入數(shù)據(jù)解得R₀=0.2m．
（2）設(shè)粒子射出極板時(shí)的速度大小為v，偏向角為α，粒子在MN間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₀，偏轉(zhuǎn)位移為y，有：
L=v₀t₀，
y=

1

2

?

qUMN

md

t02，
v=

v0

cosα

，
tanα=

vy

v0

=

qUMNt0

mdv0

，
即y=

1

2

Ltanα
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由
qvB=m

v2

R

，得R=

mv

qB

=

R0

cosα

．
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，圓心為O′，與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)∠O′DO=β，根據(jù)幾何關(guān)系：

d

2

+y=Rcosα+Rsinβ
代入相關(guān)數(shù)據(jù)得，sinβ=sinα，即β=α．
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T，則T=

2πm

qB

，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=

π 2 +2α

2π

?T=

m(π+4α)

2qB

．
由此可知，當(dāng)粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角越大則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就越長，當(dāng)滑動(dòng)頭P滑到b端時(shí)，
UMN=U=

3

3

×102V，
代入y=

1

2

?

qUMN

md

t02=

qUMNL2

2mdv02

，
得ym=

3

15

m＜0.2m．
所以tanαm=

qUt0

mdv0

=

qUL

mdv02

=

3

3

，
即αm=

π

6

．
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間tm=

5πm

6qB

=

π

12

×10-4s．
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為0.2m．
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為

π

12

×10-4s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)和在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練．