Question

如圖甲所示，M和N是相互平行的金屬板，OO₁O₂為中線，O₁為板間區(qū)域的中點(diǎn)，P是足夠大的熒光屏．帶電粒子連續(xù)地從O點(diǎn)沿OO₁方向射入兩板間．
（1）若兩板間只存在一個以O(shè)₁點(diǎn)為圓心的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向里，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.50T，兩板間距
d=

3

cm，板長L=1.0cm，帶電粒子質(zhì)量m=2.0×10^-25kg，電量q=8.0×10^-18C，入射速度v=

3

×10⁵m/s．若能在熒光屏上觀察到亮點(diǎn)，試求粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r，并確定磁場區(qū)域的半徑R應(yīng)滿足的條件．
（2）若只在兩板間加恒定電壓U，M和N相距為d，板長為L（不考慮電場邊緣效應(yīng)）．若入射粒子是電量為e、質(zhì)量為m的電子，它們的速度v滿足0＜v≤v₀，試求打在熒光屏P上偏離點(diǎn)O₂最遠(yuǎn)的粒子的動能．
（3）若只在兩板間加如圖乙所示的交變電壓u，M和N相距為d，板長為L（不考慮電場邊緣效應(yīng)）．入射粒子是電量為e、質(zhì)量為m的電子．某電子在t₀=L/4v₀時刻以速度v₀射入電場，要使該電子能通過平行金屬板，試確定U₀應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子射入磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出粒子的軌跡半徑r．若恰好在熒光屏P上觀察到亮點(diǎn)時，粒子偏轉(zhuǎn)角最大，磁場區(qū)域的半徑最大，由幾何知識求出磁場區(qū)域半徑R的最大值，即可得到條件．
（2）若只在兩板間加恒定電壓U，帶電粒子射入電場中做類平拋運(yùn)動，運(yùn)用運(yùn)動的分解，根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動學(xué)公式和動能定理結(jié)合求在熒光屏P上偏離點(diǎn)O₂最遠(yuǎn)的粒子的動能．
（3）當(dāng)加上交變電壓時，分析粒子的運(yùn)動情況，由牛頓第二定律求出加速度，由水平方向勻速運(yùn)動，求出粒子通過電場的時間，由運(yùn)動學(xué)公式分分段求在這個時間內(nèi)，粒子在垂直于極板方向偏轉(zhuǎn)的距離之和，當(dāng)該偏轉(zhuǎn)距離之和小于等于

d

2

時，粒子能飛出電場．

解答：解：（1）由牛頓第二定律可知：qvB=m

v2

r

                 
代入數(shù)據(jù)解得
粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r=5

3

×10-3m=8.7×10^-3m   
如圖所示，設(shè)恰好在熒光屏P上觀察到亮點(diǎn)時，粒子偏轉(zhuǎn)角為2θ，磁場區(qū)域的最大半徑為R₀，由幾何關(guān)系可知
    tan2θ=

d 2

L 2

=

d

L

而tanθ=

R0

r

代入數(shù)據(jù)解得  R₀=5×10^-3m 
則R應(yīng)滿足的條件 R≤5×10^-3m   
（2）電子在兩極板間的加速度a=

eU

md

  
通過金屬板的時間 t=

L

v

對打在熒光屏P上偏離點(diǎn)O₂最遠(yuǎn)的粒子有

d

2

=

1

2

at2 
此時粒子的動能 E_k=

1

2

eU+

1

2

mv2                      
聯(lián)列解得  E_k=

eU(d2+L2)

2d2

                           
（3）交變電壓的周期，則 T=

2L

3v0

，則t₀=

3

8

T
電子通過金屬板的時間 t′=

L

v0

=

3

2

T
電子在兩極板間的加速度 a′=

eU0

md

                        
   設(shè)電子分別在

3

8

T～

5

8

T、

5

8

T～

11

8

T、

11

8

T～

13

8

T、

13

8

T～

15

8

T～～時間內(nèi)沿垂直于初速度方向運(yùn)動的位移依次為y₁、y₂、y₃、y₄，則有
  y₁=y₃=-a′（

T

2

-t0）²
  y2=a′(

3

8

T)2
  y₄=

1

2

a′(

T

4

)2                                                   
要使電子能通過平行金屬板，應(yīng)滿足條件：y₁+y₂+y₃+y₄≤

d

2

 聯(lián)立解得U₀≤

8md2 v 2 0

eL2

   
答：
（1）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r是8.7×10^-3m，磁場區(qū)域的半徑R應(yīng)滿足的條件是R≤5×10^-3m．
（2）打在熒光屏P上偏離點(diǎn)O₂最遠(yuǎn)的粒子的動能是

eU(d2+L2)

2d2

．
（3）要使該電子能通過平行金屬板，U₀≤

8md2 v 2 0

eL2

．

點(diǎn)評：本題中帶電粒子在磁場中圓周運(yùn)動時，畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識求磁場區(qū)域的半徑，電場中類平拋運(yùn)動，運(yùn)用運(yùn)動的分解法進(jìn)行處理，都是常用的方法．