Question

在水平地面上方的真空室內(nèi)存在著無(wú)限大的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)共同存在的區(qū)域，且電場(chǎng)與磁場(chǎng)的方向相同，在距離水平地面的某一高度處，有一個(gè)帶電量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)，以垂直與電場(chǎng)方向的水平初速度v₀進(jìn)入該真空室內(nèi)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B時(shí)，為保證帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入真空室后做直線運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．求：
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向應(yīng)滿足的條件．
（2）若帶電質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)到空中某一M點(diǎn)時(shí)立即撤去電場(chǎng)，此后向下運(yùn)動(dòng)到空中P點(diǎn)，空中M、N兩點(diǎn)間的豎直高度為H，求經(jīng)過(guò)空中P點(diǎn)時(shí)的速率v_p．
（3）若帶電質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)到空中某一M點(diǎn)時(shí)立即撤去磁場(chǎng)，此后經(jīng)時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到空中N點(diǎn)，求空中M、N兩點(diǎn)間的豎直高度H及經(jīng)過(guò)空中N點(diǎn)時(shí)的速率v_N．

Answer 1

分析：（1）由于洛倫茲力大小與速度成正比，要使質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入真空室后做直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的受力必須平衡做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件，依據(jù)幾何關(guān)系可求出電場(chǎng)強(qiáng)度大小及其方向；
（2）撤去電場(chǎng)后，只有重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功，其機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律列式求速率v_p．
（3）當(dāng)撤去磁場(chǎng)后，帶電質(zhì)點(diǎn)只受電場(chǎng)力和重力作用，在這個(gè)過(guò)程中電場(chǎng)力不做功，由機(jī)械能守恒定律可求出M、N兩點(diǎn)間的豎直高度H；由質(zhì)點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)將其速度分解
進(jìn)行求解．

解答：解：（1）要使質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入真空室后做直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的受力必須平衡而做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其受力如圖
由于帶電質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件和幾何關(guān)系可知
（qv0B）2+（qE）2=（mg）2
解得 E=

(mg)2-(qv0B)2

q

電場(chǎng)E的方向?yàn)檠嘏c重力方向夾角θ=arcsin

qv0B

mg

，且斜向下的一切方向
（2）撤去電場(chǎng)后，只有重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功，其機(jī)械能守恒，則有
  

1

2

m

v

2 0

+mgH=

1

2

m

v

2 P

解得，v_p=

v 2 0 +2gH

（3）當(dāng)撤去磁場(chǎng)后，帶電質(zhì)點(diǎn)只受電場(chǎng)力和重力作用，這兩個(gè)力的合力大小為qv₀B，方向既垂直初速度v₀的方向也垂直電場(chǎng)E的方向，帶電質(zhì)點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，則
  加速度大小為a=

qv0B

m

  H=

1

2

at2?sinθ=

qv0B

2m

t2?

qv0B

m

整理得H=

q2v02B2t2

2m2g

因電場(chǎng)力在這個(gè)過(guò)程中不做功，則由機(jī)械能守恒定律得

1

2

m

v

2 N

=mgH+

1

2

m

v

2 0

聯(lián)立以上兩式得
  v_N=

v 2 0 + B2q2 v 2 0 t2 m2

答：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向應(yīng)滿足的條件分別是E=

(mg)2-(qv0B)2

q

，的方向?yàn)檠嘏c重力方向夾角θ=arcsin

qv0B

mg

，且斜向下的一切方向
（2）經(jīng)過(guò)空中P點(diǎn)時(shí)的速率v_p為

v 2 0 +2gH

．
（3）空中M、N兩點(diǎn)間的豎直高度H是

q v 2 0 B2t2

2m2g

，經(jīng)過(guò)空中N點(diǎn)時(shí)的速率v_N是

v 2 0 + B2q2 v 2 0 t2 m2

．

點(diǎn)評(píng)：本題中帶電質(zhì)點(diǎn)勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由洛倫茲力、電場(chǎng)力與重力相平衡，結(jié)合幾何關(guān)系來(lái)綜合求解；撤去電場(chǎng)或磁場(chǎng)時(shí)，分析受力情況，根據(jù)機(jī)械能守恒及類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)求解．