Question

如圖所示，一質(zhì)量為M的人站在臺秤上，手拿一個質(zhì)量為m、懸線長為R的小球（其中M＞m），在豎直平面內(nèi)使小球做圓周運動，且小球恰好能通過圓軌道的最高點．求：
（1）小球在圓周運動過程中的最大速度；
（2）臺秤示數(shù)的最大值；
（3）臺秤示數(shù)的最小值．

Answer 1

分析：知道小球恰好能通過圓軌道的最高點的臨界條件．
小球運動到最低點時懸線對人的拉力最大，且方向豎直向下，故臺秤示數(shù)最大，
根據(jù)機械能守恒和牛頓第二定律求出拉力在豎直方向的最小值．

解答：解：（1）小球恰好能通過圓軌道的最高點，由機械能守恒及牛頓第二定律有：
mg=m

υ 2 0

R

其中υ₀表示小球在圓軌道最高點時的速度       

mυ2

2

=

mυ02

2

+2mgR
由此得小球通過最低點時的速度，亦即最大速度為 υ=

5gR

（2）小球運動到最低點時懸線對人的拉力最大，且方向豎直向下，故臺秤示數(shù)最大，
小球通過最低點時，據(jù)牛頓第二定律有T-mg=

mυ2

R

解得T=6mg
所以臺秤的最大示數(shù)為F=（M+6m）g
（3）當(dāng)小球處于如圖所示狀態(tài)時，

設(shè)其速度為v₁，由機械能守恒有

mυ12

2

=

mυ02

2

+mgR(1-cosθ)
由牛頓第二定律有：T+mgcosθ=

mυ12

R

解得懸線拉力     T=3mg（1-cosθ）
其分力T_y=Tcosθ=3mgcosθ-3mgcos²θ
當(dāng)cosθ=

1

2

，即θ=60°時，
臺秤的最小示數(shù)為Fmin=Mg-Ty=Mg-

3

4

mg．

點評：對物體進(jìn)行受力分析，運用牛頓第二定律列出力與力的關(guān)系，根據(jù)題目的條件中找到臨界狀態(tài)．
對于圓周運動的受力問題，我們要找出向心力的來源．