Question

如圖所示，圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)半徑R=1cm，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，方向垂直紙面向里，其上方有一對(duì)水平放置的平行金屬板M、N，間距d=1cm，N板中央開(kāi)有小孔S．小孔位于圓心O的正上方，S與O的連線交磁場(chǎng)邊界于A．兩金屬板通過(guò)導(dǎo)線與匝數(shù)為100匝的矩形線圈相連（為表示線圈的繞向，圖中只畫(huà)了2匝），線圈內(nèi)有垂直紙面向里且均勻增加的磁場(chǎng)，穿過(guò)線圈的磁通量變化率為

△φ

△t

=100wb/s．位于磁場(chǎng)邊界上某點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）的離子源P，在紙面內(nèi)向磁場(chǎng)區(qū)域發(fā)射速度大小均為v=5

3

×105m/s，方向各不相同的帶正電離子，離子的比荷q/m=5×10⁷C/kg，已知從磁場(chǎng)邊界A點(diǎn)射出的離子恰好沿直線AS進(jìn)入M、N間的電場(chǎng)（不計(jì)離子重力，離子碰到極板將被吸附）求：
（1）M、N之間場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向；
（2）離子源P到A點(diǎn)的距離；
（3）沿直線AS進(jìn)入M、N間電場(chǎng)的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間（計(jì)算時(shí)取π=3）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出MA、N之間的電勢(shì)差，根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度公式求出M、N之間場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合幾何關(guān)系求出離子源P到A點(diǎn)的距離．
（3）根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式和圓心角的大小，求出粒子第一次在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后進(jìn)入電場(chǎng)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，判斷是否打到M板上，若不能，將會(huì)返回，根據(jù)粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性求出再一次通過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間．從而得出離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答：解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律得，M、N之間的電壓
U=n

△Φ

△t

=100×100V=104V．
M、N之間的場(chǎng)強(qiáng)大小E=

U

d

=106N/C，方向豎直向下．
（2）離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
由qvB=m

v2

r

，解得r=

3

cm
如圖所示，tanθ=

R

r

，解得θ=30°．
由圖中的幾何關(guān)系可知，離子源P到A點(diǎn)的距離PA=r=

3

cm．
（3）離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

．
離子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=

T

6

=

πm

3qB

=2×10-8s．
離子進(jìn)入電場(chǎng)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的距離x=

v2

2a

．
a=

qE

m

解得x=0.75cm＜d．
因此離子不會(huì)打在M板上，會(huì)以相同的速率從A點(diǎn)反向再進(jìn)入磁場(chǎng)，由對(duì)稱性，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間
t=2t1=4×10-8s．
答：（1）M、N之間場(chǎng)強(qiáng)的大小為10⁶N/C，方向豎直向下．
（2）離子源P到A點(diǎn)的距離為

3

cm．
（3）離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為4×10^-8s．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握法拉第電磁感應(yīng)定律，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．