Question

【題目】牛頓利用行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)可看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，借助開普勒三定律推導(dǎo)出 兩物體間的引力與它們之間的質(zhì)量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比。牛頓思考月球繞地球運(yùn)行的原因時(shí)，蘋果的偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它圍繞地球運(yùn)動(dòng)的力與拉著蘋果下落的力，是否都與太陽(yáng)吸引行星的力性質(zhì)相同，遵循著統(tǒng)一的規(guī)律----平方反比規(guī)律？因此，牛頓開始了著名的“月一地檢驗(yàn)”。

（1）將月球繞地球運(yùn)動(dòng)看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知月球質(zhì)量為m，月球半徑為r，地球質(zhì)量為M，地球半徑為R,地球和月球質(zhì)心間的距離為L，月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v，求地球和月球之間的相互作用力F。

（2）行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在牛頓的時(shí)代，月球與地球的距離r’、月球繞 地球公轉(zhuǎn)的周期T'等都能比較精確地測(cè)定，請(qǐng)你據(jù)此寫出計(jì)算月球公轉(zhuǎn)的向心加速度a 的表達(dá)式；已知、，地面附近的重力加速度g=9.80m/s2,請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)估算比值；

（3）已知月球與地球的距離約為地球半徑的60倍，如果牛頓的猜想正確，請(qǐng)你據(jù)此計(jì)算月球公轉(zhuǎn)的向心加速度a和蘋果下落的加速度g的比值，并與（2）中的結(jié)果相比較，你能得出什么結(jié)論?

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) ,比較（2）中的結(jié)果，二者近似相等，由此可以得出結(jié)論：牛頓的猜想是正確的，即地球?qū)υ虑虻囊�力，地面上物體的重力，都與太陽(yáng)吸引行星的力性質(zhì)相同，遵循著統(tǒng)一的規(guī)律——平方反比規(guī)律

【解析】解：（1）地球和月球之間的相互作用力

（2）由向心加速度的表達(dá)式得 ，其中：

聯(lián)立可得：

代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得：

（3）設(shè)月球的質(zhì)量為m月，地球質(zhì)量為M，根據(jù)牛頓第二定律有：

設(shè)蘋果的質(zhì)量為m，地球半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律有：

由題意知：r=60R

聯(lián)立可得：

比較（2）中的結(jié)果，二者近似相等，由此可以得出結(jié)論：牛頓的猜想是正確的，即地球?qū)υ虑虻囊�力，地面上物體的重力，都與太陽(yáng)吸引行星的力性質(zhì)相同，遵循著統(tǒng)一的規(guī)律——平方反比規(guī)律。